다양한 VaR모형들을 이용한 최적자산 배분모형의 성과 비교

김태혁

부산대학교 경영학부 교수

박종해

부산대학교 금융선물보험 전문 인력 양성사업단

권일준

부산대학교 대학원 석사과정

	<요약>
최근에 발생한 국내에서의 금융위기 및 변동성의 증가는 금융기관 및 투자자들에게 위험관리의 중요성에 대해 보다 깊이 제고하도록 하였다. 따라서, 시간이 흐름에따라 위험관리에 대한 수요가 점점 더 증가하고 있다. 이러한 요구에 부응하기 위하여 그동안 학계 및 실무에서는 보다 정확하고 정교하게 위험을 측정하고 관리하기 위한 여러가지 위험측정방법론을 개발해왔다. Value-at-Risk방법은 근래에 가장 널리 알려진 위험측정방법론이다. 하지만, VaR측정방법자체에 대한 연구도 다양하게 이루어졌다. VaR모형은 특성상 변동성을 어떻게 측정하느냐에 따라 VaR값이 달라진다. 또한 일반적인 VaR모형은 주식의 수익률이 정규분포를 따른다고 가정하여 계산하고 있으므로, 이에 대한 대안으로 Non-Gaussian을 가정하여 위험을 관리하도록 모형화시킨 VaR도 있다. 뿐만아니라 수익률의 분포와 별도로 VaR를 초과하는 손실을 관리하기 위한 조건부VaR(Conditional VaR)모형도 개발되었다. 이러한 VaR모형들을 목적함수로 사용하여 포트폴리오 최적화를 하면 서로 다른 값들이 도출된다. 본 연구는 이러한 다양한 VaR모형들을 최적자산배분모형으로 활용하였을 때, 실제 시장의 데이터를 통해서 어떠한 모형이 가장 투자자에게 이로운 지를 규명하고자 하였다. 실제 시장에서의 자산의 수익률의 분포는 정규분포를 따르지 않는 것으로 나타났으며, 이러한 상황하에서는 대체로 정규 분포를 가정하지 않은 VaR모형이 정규분포를 가정한 모형보다 성과가 좋은 것으로 나타났다.

주제어: 최적자산배분모형, 위험측정, Delta Normal VaR, Conditional VaR

I. 서 론

최근 한국에서는 위험관리의 중요성에 대한 인식의 수준이 날이 갈수록 높아지고 있다. 특히 IMF 위기 이후 이러한 인식은 점차 고조되고 있다.  기업들이 파산하고 그에 따른 연쇄파급효과로 많은 은행들이 인수합병되어 사라졌다. IMF 이후에도 살아남은 기업들의 최고경영진은 이러한 과거의 경험으로부터 위험관리에 대한 필요성을 절실히 인지하여 위험관리에 대한 수요가 점차 증가하게 되었다. 이러한 기업들의 요구에 부응하여 학계 및 실무에서는 보다 안전하고 정확하게 위험을 측정하고 관리하기 위한 여러가지 위험측정방법론을 개발하였다. 전통적 위험측정방법으로는 이러한 기업들의 요구를 반영하기 힘들었다. 예를들어 주식시장의 경우 베타(beta)로 추정하였으며, 채권은 듀레이션(Duration)과 볼록성(Convexity), 옵션은 델타, 감마, 베가등으로 위험을 측정하는 지표가 서로 달라 서로 다른 자산들로 구성한 포트폴리오들의 위험을 비교하기가 쉽지 않았다. 이에 대한 대안으로 현대에 가장 널리 알려진 위험측정방법론이 Value at Risk방법이다.(이하 VaR라 한다.) VaR이후 모든 포트폴리오의 위험은 금액단위로 통일이 되어, 서로 다른 종류의 자산으로 구성된 포트폴리오를 비교하고 관리하기가 용이해졌다.

VaR는 정상적인 시장(normal market) 여건하에서 주어진 신뢰수준(confidence level)으로 목표기간(target period) 동안에 발생할 수 있는 최대손실금액(maximum loss)으로 정의된다. VaR는 투자자의 손실에 대해서만 관심이 있다. 따라서, Downside risk를 관리하는 방법이라 할 수 있다. VaR측정방법에 대한 연구도 상당히 다양하게 이루어졌다. 전통적인 위험측정모형은 정규분포를 가정하고 있지만, 실제의 자산의 수익률의 분포가 정규분포를 따르는 경우가 드물다. 첨도값은 정규분포보다 대체로 높으며, 꼬리가 두터운 leptokurtic 분포를 따르는 경우가 많다. 실제 시장의 이러한 통계적 특성으로 인하여 전통적인 VaR모형은 비판을 받아 왔다. 하지만, 전통적 VaR모형은 이해하기가 쉬우며, 계산이 용이해서 현재까지도 많이 쓰이고 있다. VaR는 변동성을 어떻게 측정하느냐에 따라 그 값이 달라지기 때문에 어떤 변동성측정방법이 금융기관이나 투자자들에게 가장 이로운 것인지는 여전히 연구의 대상이 될 수 밖에 없다. VaR의 모형으로는 모수적인 방법으로 시장가격 또는 Risk Factor의 변동에 정규성을 가정한 분산공분산방법이 대표적이다. 하지만, 정규분포를 따르지 않는 경우 첨도와 왜도값을 모형이 반영할 수 있도록 VaR를 수정한 모형도 제시되었다. 앞의 방법들은 모수를 추정하여 사용하는 데 비하여, 모수를 사용하지 않고 실제의 역사적 분포로부터 직접 구하는 empirical VaR가 있다.

한편, Artzner, Delbaen, Heath(1999)는 VaR의 대표적 한계로서 sub-additivity 와 convexity의 결여를 지적하고 있다. 그들의 논문에서는 coherent risk에 대한 공리(axioms)와 측정방법론에 대하여 제시하였다. VaR에 의한 위험측정방법이 비록 유용한 정보를 제공해주지만, VaR는 coherent risk측정방법은 아니다. 이를 보완하기위하여 비교적 최근에 제시된 대안으로 Condtional VaR방법(이하 CVaR)이 있다. 이 방법은 일정한 신뢰수준에서 VaR를 초과하는 손실부분에 대한 기댓값으로 정의되는데, 이 CVaR방법은 coherent risk의 공리를 만족시킨다.

하지만, 이러한 CVaR를 측정하는 방법또한 VaR를 측정하는 방법에 따라 달라질 수 있다. 즉, CVaR는 자산의 손실금액이 VaR를 초과하였을 경우의 기대손실로 정의되므로, 초과값에 대한 임계값으로 어떤 VaR모형을 사용하느냐에 따라 CVaR가 달라지게 되는 것이다. 따라서, 본 논문에서는 Biglova, Ortobelli, Rachev, Stoyanov(2004)가 제안한 방법에 의하여 여러 가지 모형을 기준으로 VaR를 측정하였을 경우에 대하여 각각의 CVaR값을 도출하는 방법을 사용한다. 한편, 앞의 CVaR모형은 VaR값을 초과하는 기대손실로 정의되므로 사전에 VaR값을 알아야 하는 불편함이 있다. Uryasev(2000)과 Rockafellar and Uryasev(2000)이 그들의 논문에서 이러한 CVaR값을 도출할 때에 VaR값을 사전에 구하지 않아도 되도록 식을 수정하였다.

앞에서 VaR모형을 측정하는 방법은 여러 가지가 있음을 밝혔다. 금융기관에 있어 위험관리는 가장 중요한 문제이긴 하지만, VaR값을 지나치게 과대평가하면 요구되는 자기자본비율이 증가하며 이것은 사용되지 못한 자원에 대한 기회비용을 발생시킨다. 즉, 위험관리에 지나치게 집중하면 수익성이 악화될 수가 있으므로, 적절한 VaR모형을 선택하여 포트폴리오를 관리하는 것은 금융기관의 입장에서 중요한 요소이다. 본 논문은 이러한 인식하에 여러가지 VaR측정방법에 따라 최적자산배분모형을 사용하여 가상포트폴리오를 구축하고 그 성과를 비교 분석하는 방법을 제시하고자 한다. 즉, VaR모형을 사용할 때에 정규분포를 가정한 모형을 사용한 경우와 Non-Gaussian 분포를 고려한 모형중 어떠한 모형이 투자자에게 가장 최적의 결과를 가져다 주는 지 알아본다. 또한, 변동성 측정방법에 따라 VaR값은 서로 다르게 측정되므로 이에 관하여 포트폴리오 구축모형을 제시하고자 하였다. 즉, VaR를 규정하는 여러가지 모형과 각 모형에 사용될 다양한 변동성 측정방법을 이용하여 최적자산배분 전략을 수립하고 실증 분석을 통하여 비교분석할 수 있는 모형을 제시하고자 하였다. 금융기관은 보통 목표수익률을 1년단위로 갱신한다. 이준행(2000)은 그의 논문에서 VaR모형을 한국시장에서 측정할 경우 1년 이상의 자료를 사용하는 것은 바람직하지 않다고 밝혔다. 따라서, 투자시점이전의 1년동안의 데이터를 사용하여 각 VaR별 자산배분모형을 결정하고, 이에 따라 향 후 1년간의 포트폴리오 성과를 측정한다. 그리고, 실제로 어떤 VaR모형의 포트폴리오가 가장 나은 성과를 산출해냈는 지를 월별로 순위(Rank)를 매겨 판단한다.

본 논문은 총 4장으로 되어있다. 제2장에서는 VaR모형을 계산하는 여러 가지 방법과 CVaR모형들을 소개한다. 제3장에서는 분석기간 및 데이터 수집방법, 연구방법을 제시하고 실증분석결과에 대해  설명한다. 제4장에서는 요약 및 결론을 제시한다.

II. 이론적 배경 및 분석모형

VaR방법은 이전의 자산마다 서로다른 위험측정단위들을 금액으로 통일시켜 금융기관으로 하여금 위험관리를 용이하게 하여 널리 알려지게 된 방법이다. 국내외로 이러한 VaR모형들이 위험측정치로서의 타당성을 검증하는 연구가 많이 진행되었다. VaR모형이 위험관리의 지표로서 적정성을 검증한 대표적인 국외 연구로는 Hendricks(1996), Hull and White(1997), Hoppe(1998), Brooks and Persand(2000)등이 있다. 그리고, 국내에서는 이준행(2000), 유진,이준행(2002), 남주하,김상덕(2002), 문성주,이덕창,김대호,오세경(2003), 조담(2003), 유일성(2005)등이 국내 시장에서의 VaR모형의 유용성에 대하여 연구하였다. 하지만, 이러한 연구들은 어떠한 VaR모형이 위험을 잘 예측하는 지에 대한 연구이며, 최적자산배분기준으로 활용하지는 않았다. 국내에서 VaR모형을 최적자산배분기준으로 활용하여 실증적으로 분석한 연구는 별로 알려져 있지 않다. 국내에서의  대표적 연구로는 김진호(2002)가 평균-분산모형과 평균-VaR모형을 비교검증하였고, 김진호,김윤전(2003)이 CVaR모형을 최적자산배분에 활용하였다. 한편, 국외연구로는 Favre and Galeano(2002)가 자산의 분포가 정규분포를 가정하지 않아도 적용할 수 있도록 VaR모형을 수정하여 활용하였고, Uryasev(2000)과 Rockafellar and Uryasev(2000)은 CVaR모형을 계산할 때 VaR값을 계산하지 않아도 되도록 하는 계산식을 제안하였으며, Biglova, Ortobelli, Rachev,

Stoyanov(2004)는 여러 가지 위험측정방법에 대한 연구에서 VaR모형들을 최적자산배분기준으로 활용하였다.

이제 VaR에 대한 이론적인 측면을 살펴본다. VaR는 여러 가지 위험 중에서 시장위험을 측정하기 위해서 고안된 도구로 통계적 기법을 이용하여 주어진 신뢰수준(confidence level)내에서 목표보유기간 동안에 기대되는 최대손실금액을 말한다. 따라서, VaR는 손익분포에서 발생 가능한 최대의 손실금액을 평가한다. VaR계산을 위한 첫 번째 단계는 보유기간과 신뢰수준 두 가지 계량적 요소를 선택하는 것이다. 이 두 요소는 다소 임의적으로 선택된다. 예를 들어, 리스크를 관리하기 위하여 많은 금융회사들이 1일의 보유기간으로 5%VaR를 계산한다. 1995년 4월의 바젤협정(Basel Agreement)에 의하면 금융기관은 노출된 위험을 관리하기 위해 내부모형(internal model)을 사용하도록 하고 있다. 내부모형은 99%의 신뢰수준에서 보유기간은 10일을 목표로 하며, 자료는 적어도 1년 이상의 과거자료를 이용하며 최소한 분기에 한 번 자료를 갱신하도록 요구하고 있다. 그리고 전날 VaR와 과거 60일동안의 거래일에 대한 VaR의 평균값에 대하여 안정승수를 곱한 금액 중에서 큰 금액으로 시장위험요구자본(market risk charge: MRC)을 설정한다. 안정승수는 최소 3에서 최대4까지 값을 가진다.

VaR에 대한 기본적인 설명은 주로 윤평식,김철중 공저, “금융기관 시장위험관리”를 참고하였음을 밝혀둔다.

이러한 VaR는 무엇을 기준으로 손실금액을 측정하느냐에 따라 두가지 방법으로 정의된다. 즉, 포트폴리오의 기대가치를 기준으로 측정하는 방법과 0을 기준으로 측정하는 방법이 있다. 본 논문에서는 포트폴리오의 기대가치를 기준으로 측정하는 평균기준 VaR를 사용하며, 그 개념은 아래와 같다.

평균기준VaR = [eqn: E(W)-W*=W _{0} u-W _{0} r*=W _{0} (u-r*)]

이 때, [eqn: W]는 포트폴리오의 가치이며, [eqn: W _{0}]는 최초 투자액, r은 연속복리수익율이다. [eqn: W*]는 포트폴리오가 [eqn: r*]의 수익율만큼 하락하였을 경우의 포트폴리오의 가치이다.

VaR에 연관된 위험포지션의 실제 손익분포는 대부분 알려지지 않았다. 그래서 대부분의 연구에서는 실증적 자료의 통계적 분석을 통해 특정한 확률분포를 선택하여 모형화 하고 이 모형을 통해 VaR를 추정하는 방식을 사용한다.

수익률의 분포가 정규분포라는 가정하에 VaR를 구하는 가장 대표적인 방법은 Delta-Normal 방법이다. Delta-Normal 방법은 포지션 가치와 기초적 시장가격의 관계가 선형적일 때 적용되는데 포지션의 VaR는 델타와 변동성 [eqn: sigma]의 곱으로 계산된다. 모수적 방법을 이용한 개별자산의 VaR는 신뢰수준에 상응하는 표준정규분포의 누적확률밀도함수값에 대응하는 [eqn: Z _{alpha }], 기대평균수익률 [eqn: mu], 개별자산의 포지션가치 V, 자산의 목표기간 수익률의 미래확률분포의 표준편차 [eqn: sigma]의 곱으로 계산된다.

[eqn: VaR _{(1- alpha )%} `=`V TIMES ( mu -Z _{alpha } TIMES sigma )]                                 (1)

여기서, [eqn: Z _{alpha }]값은 아래와 같이 구하여진다.

[eqn: N(z)= int _{- INF } ^{Z} {phi (x)dx`=`0.05}]                                   (2)

[eqn: N(z)= int _{- INF } ^{Z} {phi (x)dx`}] : 표준정규분포의 누적확률밀도함수

여기서, 유의수준이 5%인 경우 [eqn: Z _{alpha }]=-1.65이며, 유의수준이 1%인 경우 [eqn: Z _{alpha }]=-2.33이다. 위의 VaR 계산식은 변동성인 [eqn: sigma]값을 어떻게 측정하느냐에 따라 달라진다.

단순이동평균모형에서 t시점에서의 자산수익률의 분산 [eqn: sigma _{t} ^{2}]은 과거 T일 동안 시장에서 실현된 T개의 자산수익률 [eqn: r _{t-i}]의 분산으로 추정식은 아래와 같다.

[eqn: sigma _{t} ^{2} = {1} over {T} sum _{i=1} ^{T} (r _{t-i} `-`E[r _{i} ]) ^{2} `=` {1} over {T} sum _{i=1} ^{T} r _{t-i} ^{2} `-`E[r _{i} ] ^{2}]                 (3)

여기서, [eqn: E[r _{t} ]= {1} over {T} sum _{i=1} ^{T} r _{t-i}]이다.

이러한 이동평균모형의 단점은 시간의 흐름을 무시한다는 것이다. 즉, 최근의 자료와 오래된 자료에 대하여 동일한 가중치를 부여하는 것이다. 하지만, 실제로 최근의 자료가 현재시점에서의 추정치에 더 많은 영향을 미치게 되므로 이러한 문제를 해결하기 위한 대안으로 지수가중이동평균법이 제시되었다.

t시점의 자산수익률의 분산 [eqn: sigma _{t} ^{2}]의 추정치[eqn: h _{t}]는 1기 전의 [eqn: sigma _{t-1} ^{2}]의 추정치인 [eqn: h _{t-1}]와 1기 전의 자산수익률의 제곱 [eqn: r _{t-1} ^{2}]의 가중평균으로서 [eqn: h _{t}]는 과거추정치에 의해 영향을 받는다는 점에서 조건부 분산(conditional variance)라고 한다.

[eqn: h _{t} = lambda ^{T} h _{t-T} +(1- lambda ) sum _{i=1} ^{T} lambda ^{i-1} r _{t-i} ^{2}]                             (4)

여기서, [eqn: lambda]는 0보다 크고 1보다 작은 상수로서 일정한 값을 가진다. 여기서, [eqn: T -> INF]로 갈수록 위의 [eqn: lambda ^{T}]값은 0에 가까워져 T일전의 추정치 [eqn: h _{t-T}]는 거의 영향을 미치지 못하게 된다. 따라서, 실제로 시장에서 관찰된 관측치 [eqn: r _{t-T} ^{2}]의 지수가중평균에 의해 [eqn: h _{t}]가 결정된다. 위의 식 중에서 [eqn: lambda]는 과거의 충격이 소멸되는 정도를 나타냄으로 충격소멸계수(decay factor)라고 한다. 충격소멸계수 [eqn: lambda]가 작은 값을 가질수록 [eqn: (1- lambda ) lambda ^{i-1}]이 과거로 갈수록 빠른 속도로 작아지게 되며, 이는 과거 한 시점의 관찰치의 영향이 빠른 속도로 감소하게 됨을 의미한다. RiskMetrics 방법에서는 [eqn: lambda]추정치를 일별 자료에 대해서는 0.94로 적용하고 있고, 월별 자료에 대해서는 0.97로 일정하게 적용하고 있다. 본 논문에서는 일별 자료를 사용하므로 0.94를 사용한다. 이준행(2000)의 연구에서도 VaR계산시 0.94를 사용할 것을 권장하고 있다.

앞의 VaR모형들은 모수를 사용하여 추정하는 모수적방법이다. 이에 대하여 과거의 수익률의 분포로부터 직접 VaR를 구하는 역사적 시뮬레이션에 의한 VaR추정방법이 있다. 역사적 시뮬레이션 방법은 실제데이터를 이용하여 분포를 추정한 후 왼쪽꼬리의 영역이 합이 [eqn: alpha]값과 같아지는 변수값을 구하면 그 값이 신뢰수준 [eqn: 1- alpha]에서의 VaR값이 된다.

[eqn: int _{- INF } ^{W*} {f(w)dw=`Prob(W LEQ W*)= alpha }]                           (5)

위의 식에서 [eqn: W*]는 분포의 [eqn: alpha]퀀타일(quantile) 또는 [eqn: alpha]퍼센타일(percentile)에 해당한다. 예를 들어 95%의 신뢰수준하에서 VaR를 계산하는 것은 5퀀타일 혹은 5퍼센타일을 찾는 것과 동일하다. 이 값을 사용하여 VaR값을 측정한다.

실제로 자산의 분포가 정규분포를 따르지 않는 경우, 분포의 왜도와 첨도를 반영하여 수정한 VaR모형이 있다. 이 모형은 Favre and Galeano(2002)는 그들의 논문에서 Modified VaR모형을 아래와 같이 제안하였다.

M-VaR =[eqn: W LEFT [ mu - LEFT ( z _{alpha } + {1} over {6} (z _{alpha } ^{2} `-1)S`+` {1} over {24} (z _{alpha } ^{3} -3z _{alpha } )K- {1} over {36} (2z _{alpha } ^{3} -5z _{alpha } )S ^{2} RIGHT ) sigma RIGHT ]] (6)

[eqn: Z _{alpha }]: critical value for probability [eqn: (1- alpha )]

S : skewness

K : excess kurtosis

이 때 [eqn: Z _{alpha }]값은 정규분포상의 99%확률값으로 -2.33의 값을 가지며, 95%확률 하에서는 -1.96의 값을 가진다. 이 연구에서는 99%확률값을 사용한다. S는 분포의 왜도값을 이용하며, K는 정규분포의 첨도값인 3을 초과하는 초과첨도값이다.  만약 실제분포가 정규분포라면, S와 K는 0의 값을 가지게 되므로, 우변은 [eqn: W LEFT [ mu -z _{alpha } sigma RIGHT ]]값이 되어 정규분포가정하의 Normal VaR와 식이 같게 된다.

한편, Artzner, Delbaen, Heath(1999)은 위험측정방법으로써 Condtional VaR개념을 제창하였다. 이것은 Expected shortfall이라고도 한다. 그들의 연구에서 coherent 위험측정기법이 충족시켜야할 조건들을 4가지로 나누어 제시하였다. 실무적인 관점에서 이 4가지를 설명하면 다음과 같다. 첫째, 무위험자산을 포트폴리오에 포함할 경우 포트폴리오의 위험은 감소한다. 둘째, 부(wealth)는 증가할수록 선호된다. 셋째, 2개의 자산에 대한 총투자위험은 각각의 자산의 단일위험의 단순합보다 작다. 넷째, 해당자산의 위험에 양(positive)의 인자(factor)를 곱하면 위험도 동일한 비율로 증가하여야 한다. 이 때, VaR모형은 세 번째 가정을 만족시키지 못하는 단점이 있는 반면 CVaR모형은 위의 4가지 coherent risk요건을 충족하고 있다. CVaR는 다음 식으로 나타낼 수 있다.

[eqn: CVaR _{(1- alpha )%} `=`E`[`L`|L`>VaR _{alpha %} `]]                               (7)

포트폴리오의 수익률을 X라 하면, L=-X로 손실금액의 크기를 나타낸다. Biglova, Ortobelli, Rachev, Stoyanov(2004)는 그들의 논문에서 99%신뢰수준의 CVaR를 아래와 같은 식으로 측정하였다.

[eqn: CVaR _{99%} (r _{p} -r _{f} )`=`- {1} over {(0.01*n)} ` sum _{r _{p,t LEQ -VaR _{99%} (r _{p} -r _{f} )}} ^{} r _{p,t}]                  (8)

여기서, [eqn: r _{p}]는 포트폴리오의 수익률이며, [eqn: r _{f}]는 무위험자산의 수익률이다. [eqn: r _{p,t}]는 t시점의 포트폴리오의 수익률이며, n은 데이터의 개수를 의미한다. 식(8)에서[eqn: VaR _{99%}]의 값은 앞에서 측정한 VaR값을 의미한다. 본 논문에서는 ①단순이동평균법에 의한 Normal VaR, ②지수가중이동평균법에 의한 EWMA VaR, ③역사적 분포에 의한 empirical VaR, ④자산의 분포의 첨도와 왜도를 반영하여 VaR식을 수정한 M-VaR를 위 식의 [eqn: VaR _{99%}]값으로 사용한다. 따라서, CVaR모형은 각각의 VaR모형에 대하여 4가지모형이 계산된다.

위의 CVaR모형은 사전에 VaR값을 구하여야 계산할 수 있다는 단점이 있다. Uryasev(2000)과 Rockafellar and Uryasev(2000)은 VaR모형을 일일이 구하지 않아도 간편하게 CVaR값을 구할 수 있도록 아래와 같은 식을 제안하였다.

[eqn: F _{beta } (x, alpha )= alpha +(1- beta ) ^{-1} int _{y IN R ^{m}} ^{} {[f(x,y)- alpha ] ^{+} p(y)dy}]              (9)

[eqn: CVaR _{beta } (x)=min _{alpha } `F _{beta } (x, alpha )]                                   (10)

여기서, f(x,y)는 자산배분비율 벡터x, 수익률 벡터y에 관한 손실함수로 정의되며, p(y)는 수익률 벡터의 확률밀도함수를 나타낸다. 식[eqn: F _{beta } (x, alpha )]에 대해서 [eqn: alpha]값에 대해 최소화시킬 경우 CVaR가 구해질 수 있다고 그들은 주장하였다. 이 모형에서의 CVaR는 특정값[eqn: alpha]를 초과하는 손실부분에 대한 기댓값으로 나타난다. 따라서 최적화된 [eqn: alpha]값이 곧 VaR가 된다. 이 모형에서는 최적자산배분비율과 CVaR값, 그리고 [eqn: alpha]값이 동시에 결정된다는 특징이 있다. 김진호와김윤전(2003)은 식(9)와 (10)에 해당하는 CVaR모형을 사용한 최적자산배분모형을 국내에 적용하였다. 그들의 연구에서는 정규분포를 가정한 평균-분산모형과 분포에 대한 제약적 가정이 없는 CVaR모형에 의한 최적자산배분결과가 유의한 차이를 보이지 않은 것으로 나타났다.

본 논문에서는 아래와 같은 최적화 모형을 사용한다.

minimize [eqn: VaR _{99%}] or [eqn: CVaR _{99%}]                               (11)

subject to

[eqn: sum _{j=1} ^{n} w _{j} `=`1]                                                   (12)

[eqn: sum _{j=1} ^{N} w _{j} bar{r _{j}} ` GEQ G`]                                                (13)

[eqn: w _{j} ` GEQ `0,```````j=1,...,N]                                         (14)

위 식에서의 목적함수인 식(11)에 대하여 먼저 설명하면,  [eqn: VaR _{99%}]는 앞에서 언급한 바와 같이 ①단순이동평균법에 의한 Normal VaR, ②지수가중이동평균법에 의한 EWMA VaR, ③역사적 분포에 의한 empirical VaR, ④자산의 분포의 첨도와 왜도를 반영하여 VaR식을 수정한 M-VaR를 위 식의 [eqn: VaR _{99%}]값으로 사용한다. [eqn: CVaR _{99%}]값은 위에서 언급한 4가지 VaR값을 초과하는 기대손실을 측정하는 4가지 CVaR모형을 사용한다. 따라서 각각을 ⑤C_Normal VaR, ⑥C_EWMA VaR, ⑦C_empirical VaR, ⑧C_MVaR로 정의한다.

다음으로 제약식에 대한 부분을 설명하면 식(13)의 [eqn: w _{j}]는 포트폴리오내의 j자산에 대한 투자비중을 의미하며, [eqn: bar{r _{j}}]는 j자산의 평균수익율이다. 따라서 [eqn: sum _{j=1} ^{N} w _{j} bar{r _{j}} `]는 분석기간동안의 포트폴리오의 평균수익률을 의미한다. 식(13)에서의 G는 투자자의 최소요구수익률을 의미한다. 이 모형에서 자산에 대한 공매(short-sale)를 허용하지 않는다. 따라서, 식(14)에서와 같이 모든 자산 J에 대하여 [eqn: w _{j}]는 0이상의 값을 가진다.

한편, Rockafellar and Uryasev(2000)은 구체적으로 이산분포에서 CVaR를 추정하는 선형계획법을 아래와 같이 제시하였다.

minimize [eqn: F _{beta } (X, alpha )= alpha +q ^{-1} (1- beta ) ^{-1} sum _{k=1} ^{q} [f(x,y _{k} )- alpha ] ^{+}]        (15)

이 때,[eqn: [f(x,y _{k} )- alpha ] ^{+}]는 아래와 같이 정의될 수 있다.

[eqn: cases{f(x,y _{k} )- alpha &,if`f(x,y _{k} )`>`` alpha #0&,if`f(x,y _{k} )` LEQ ` alpha }]                                 (16)

위 식은 앞의 VaR모형에 대하여 목적함수만 다르며, 제약식은 동일하게 적용된다고 볼 수 있다. 따라서, 식(15)가 앞의 식(11)에 대입된다.

본 논문에서는 4가지의 [eqn: VaR _{99%}]모형과 Biglova, Ortobelli, Rachev, Stoyanov(2004)가 제안한 각각의 [eqn: VaR _{99%}]를 초과하는 손실에 대한 기댓값을 계산하는 4가지의 [eqn: CVaR _{99%}], 그리고 9번째 모형으로 Rockafellar and Uryasev(2000)의 [eqn: CVaR _{99%}]모형을 사용하게 된다. 따라서 총 9가지 모형의 성과를 비교 평가하게 될 것이다.

III. 실증분석

3.1 자료 및 분석방법

본 논문에서 사용된 데이터는 1989년 1월 5일부터 2006년 12월 28일까지의 기간에 대하여 KOSCOM사의 CHECK expert에서 제공하는 KOSPI 산업지수 중 16개의 산업지수(Industrial Index)의 일별 데이터를 사용하였다. 이것은 KOSPI전체의 산업지수가 아니므로, 분석에 사용된 전체데이터의 수익률추이는 KOSPI와 약간의 차이가 있다. <그림1>에 분석 기간 동안의 16개 산업지수의 Equally weighted 평균누적수익률의 추이와 해당기간의 KOSPI누적수익률의 추이의 차이를 나타내었다. 대체로 1998년 이전에는 16개산업지수의 수익률이 KOSPI보다 높으며 1998년이후에는 KOSPI지수의 수익률이 높게 나타나고 있다. 한 편, 본 논문에서의 모형은 정규분포를 가정한 모형과 그렇지 않은 모형을 서로 비교하고 있으므로, 실제 자산의 수익률의 분포가 정규분포를 만족하는 지를 확인할 필요가 있다. <표1>에서 제시하는 바와 같이 1989년부터 2006년까지의 전체 분석기간 동안의 자산의 수익률의 분포는 정규분포를 따르지 않는 것으로 나타났다. 즉, 수익률의 첨도와 왜도는 정규분포와 다르며, 정규성을 검정하는 Jarque-Bera통계량의 P-value또한 0.000으로 자산의 분포가 정규분포를 따를 것이라는 귀무가설을 유의수준 1%내에서  기각하고 있다. 실제 자산의 수익률의 꼬리가 얼마나 두꺼운지 시각적으로 확인하는 데 QQ plot은 유용한 도구이다. <그림 2>에서는 정규분포를 기준분포로 설정하고 그에 해당하는 QQ plot를 그렸다. 지면관계상 16개산업지수에 대한 Equally weighted 평균값을 사용하였으나, 16개산업지수에 대하여 16개의 plot를 그려도 결과는 동일하게 꼬리가 정규분포보다 두껍게 나타났다. 따라서, 자산의 수익률의 분포는 첨도가 높고, 꼬리가 두꺼운 lepto-kurtic분포의 형태를 가지고 있음을 알 수 있다. 앞서 설명한 바와 같이 본 연구에서는 분석기간의 자산의 수익률을 사용하여 총 9가지의 VaR모형과 CVaR모형들을 비교 평가할 것이다.

KOSCOM사의 CHECK프로그램은 한국증권거래소에서 공표하는 총 20개의 산업지수데이터를 제공한다. 이 중에서 서비스업, 통신업, 전기가스, 의료정밀등 4개 산업지수는 비교적 최근에 만들어진 산업지수로 분석 기간 동안 전체데이터가 존재하지 않아 분석에서 제외하였다.

QQ plot은 자료 분포의 quantile값과 기준분포의 quantile값을 점으로 찍어 나타낸 것으로, 모든 점이 대각선상에 나타나면 자료가 기준분포를 따르는 것을 의미한다.

<그림1> 16개산업지수의 수익률과 KOSPI수익률의 비교

이를 위해 먼저 투자자는 과거 1년동안의 산업지수데이터를 사용하여 각각의 포트폴리오 선택모형에 대해 최적자산배분율(optimal asset allocation)을 결정한다. 따라서, 이 포트폴리오의 구성비율은 사후적(ex post)인 데이터에 의해 결정되는 것이다. 투자 시점에서 투자자의 초기 부([eqn: W _{0}])는 1원이며, 금액을 전부 포트폴리오에 투자한다고 가정한다. 이 후 투자자는 투자시점으로부터 1년동안 각각의 기준에 대한 투자액 1원에 대한 포트폴리오의 부(Wealth)의 가치변화를 평가한다. 수익률은 연속복리수익률을 사용하였다. 따라서 자산의 수익률 r은 아래와 같이 정의된다.

[eqn: r`=`ln(P _{n} /P _{n-1} )]                                           (17)

데이터는 일별기준이므로 n일째의 포트폴리오의 부의 가치는 아래와 같이 측정된다.

[eqn: W _{n} `=`W _{n-1`} BULLET e ^{r}]                                           (18)

여기서, [eqn: W _{n}]은 n일째의 포트폴리오의 부의 가치이며, [eqn: P _{n}]은 n일째의 산업지수이며, [eqn: ln]은 자연로그를 의미한다. 이렇게 향 후 1년동안 포트폴리오의 부의 가치

<표 1> 전체기간동안의 자산 수익률의 기초통계량

산업지수	Mean	Std. Dev.	Skewness	Kurtosis	Jarque-Bera	P-value
보험업	0.034%	0.024	0.160	6.309	2256.23	0.000
증권	-0.009%	0.029	0.324	6.563	2676.40	0.000
은행	-0.022%	0.024	0.286	6.369	2383.76	0.000
운수창고	0.011%	0.023	-0.156	6.896	3118.47	0.000
건설업	-0.016%	0.024	0.270	8.612	6488.97	0.000
유통업	-0.013%	0.021	-0.064	6.400	2363.02	0.000
운수장비	0.003%	0.021	-0.004	6.239	2141.82	0.000
전기전자	0.035%	0.022	0.078	7.044	3343.70	0.000
기계	0.002%	0.022	-0.642	10.965	13287.49	0.000
철강금속	0.026%	0.020	0.103	7.340	3854.33	0.000
비금속	0.001%	0.019	-0.190	6.347	2316.30	0.000
의약품	0.033%	0.020	-0.106	8.443	6056.19	0.000
화학	0.020%	0.018	-0.092	5.731	1529.92	0.000
종이목재	-0.018%	0.019	-0.482	7.153	3710.38	0.000
섬유의복	-0.027%	0.017	-0.474	7.208	3797.81	0.000
음식료	0.029%	0.016	-0.089	7.089	3419.58	0.000

변화가 측정이 되면, 매월마다 각각의 포트폴리오 모형의 수익률의 순위(Rank)를 평가하게 된다. 분석 기간동안 투자종료시점의 포트폴리오 가치만 평가하지 않고 매월 포트폴리오의 가치를 평가하는 이유는 다음과 같다.

예를 들어 투자자가 2006년 1월2일에 한국시장의 산업지수로 포트폴리오를 구성하여 투자하기로 결정하였다고 하자. 그는 2005년 1월3일부터 2005년 12월29일의 1년 동안의 데이터를 사용하여 9가지의 VaR모형에 대하여 위험을 최소화시키는 것을 목적함수로 하여 최적자산배분율을 구한다. 각 포트폴리오에는 1원씩 투자하게 된다. 투자기간이 1년이므로 투자종료기간은 2006년 12월 28일이다. 만약 그가 투자종료시점에서의 각 포트폴리오의 가치만 평가할 경우 투자기간동안의 해당 포트폴리오선택기준의 수익률이 지속적으로 우월한 성과를 내고 있었는지를 알 수 없게 된다. 따라서 투자종료시점에서의 포트폴리오의 순위뿐만 아니라 투자 기간동안 지속적으로 순위가 유지되었는지를 알기 위해서 매 월마다 평가를 하게 된다.

위의 예에서와 같이, 본 논문에서는 투자시점에서의 포트폴리오를 구성하기위하여 사후적으로 1년 동안의 데이터를 사용하고, 투자기간은 1년을 가정하므로 총 2년의 데이터가 1회분석에 사용된다. 하지만, 특정 포트폴리오 선택기준은

<그림 2> 전체기간동안의 자산수익률에 대한 QQ plot

특정기간동안에서만 우월한 성과를 가지며, 분석기간이 달라질 경우 결과가 달라질 수 있을 것이다. 따라서, 본 연구에서는 신뢰성을 향상시키위하여 1989년 1월 5일부터 2006년 12월 28일 동안의 데이터를 사용하여 10회분석을 시행할 것이다. 10회 분석을 시행하는 절차는 다음과 같다. 예를 들어 1992년도의 산업지수 수익률 데이터를 포트폴리오의 자산배분율(asset allocation)을 계산하기 위하여 사용한다면 1993년 1월부터 1993년 12월말까지의 데이터는 해당 포트폴리오들의 수익률을 평가하는 데 사용된다. 그 다음 1993년도의 산업지수 수익률 데이터를 포트폴리오 자산배분율을 계산하기 위하여 사용한다면 해당 포트폴리오의 수익률 평가기간은 1994년 1월부터 1994년 12월말까지이다. 이러한 방법으로 순차적으로 10회 평가할 것이다.

포트폴리오를 구성하기 위하여 과거 1년 동안의 데이터를 사용할 때 시장의 기초자산의 수익률이 투자자의 최소요구수익률이하일 경우에는 모형에서 최적해를 찾을 수 없게 된다. 즉, 만약 시장에 위험자산과 무위험자산이 존재하며 위험자산의 전체 수익률이 무위험자산보다도 낮다면 투자자는 위험자산에 투자하지 않고 전부 무위험자산에만 투자할 것이다. 그러므로 위험자산에 대한 최적값은 도출되지 않는다. 본 연구에서는 시장에 무위험자산이 없다고 가정하며, 투자자의 최소요구수익률은 0%라고 가정한다. 따라서 최적자산배분율을 계산하기 위하여 사용되는 기간의 평균수익률이 0이상인 경우에만 분석을 시행한다.

<표 2>에서 보여지는 바와 같이 KOSPI의 16개 산업지수의 Equally

<표 2> 년도별 KOSPI산업지수의 Equally Weighted 일평균수익률

연도	자산평균수익률	연도	자산평균수익률
1989	0.028%	1998	0.116%
1990	-0.088%	1999	0.068%
1991	-0.051%	2000	-0.280%
1992	0.032%	2001	0.186%
1993	0.099%	2002	-0.053%
1994	0.069%	2003	0.119%
1995	-0.079%	2004	0.041%
1996	-0.101%	2005	0.222%
1997	-0.221%	-	-

weighted 평균수익률이 0%이상인 연도는 1989년, 1992년, 1993년, 1994년, 1998년, 1999년, 2001년, 2003년, 2004년, 2005년 등 총 10개 연도이다. 따라서 제1기간인 1989년의 데이터를 포트폴리오의 자산배분율을 추정하기 위해 사용한다면, 투자시점은 1990년 1월 4일이되며, 1년 후인 1990년 12월말까지의 데이터로 성과를 평가한다. 그 다음, 2번째 기간인 1992년도의 데이터를 자산배분율을 추정하기 위해 사용한다. 이렇게 총 10번째 기간까지 반복해서 평가한다. 따라서 10기간째에는 투자시점이 2006년 1월 2일이 된다.

3.2 평가방법 및 분석결과

이 장에서는 2장에서 제시한 분석모형과 3.1에서 제시한 분석방법을 사용하여

분석한 결과를 설명하고 평가한다.

<표 3>에는 포트폴리오 구성비율을 추정하기 위해 사용된 10개년도에 대한 기초통계량이 제시되어 있다. 역시 Jarque-Bera통계량을 보면  정규분포에 대한 귀무가설을 기각하고 있음을 알 수 있다. 즉, 포트폴리오 구성비율추정을 위해 사용된 10개년도 또한 전체기간동안의 수익률분포와 마찬가지로 정규분포를 따르지 않고 있다. 또한 <그림 3>에 나타난 QQ plot에 나타난 바와 같이 꼬리가 두꺼운 fat tail분포임을 알 수 있다. 다음으로 포트폴리오를 구성하기위하여 각 VaR 모형에 의해 포트폴리오의 최적자산배분율을 계산해야 한다. 2장에서 설명하였던 9개 모형에 대한 최적해가 바로 포트폴리오의 자산배분율이 된다. <표 4>에 각 모형별로 계산되어진 최적자산배분율이 나타나있다. 10개 기간의

<그림 3> 포트폴리오 구성에 사용된 10개년도 수익률의 QQ plot

데이터를 사용하였으므로 포트폴리오의 자산배분율 또한 10번 계산되어진다. <표 4>에 나타나있는 값은 10개 기간의 최적자산배분율(Optimal asset allocation)에 대한 평균비율을 나타낸 것이다. 분석기간동안 음식료 산업분야가 평균적으로 26%의 자산배분이 이루어졌으며, 투자비중이 가장 높다. 그 다음으로 은행업분야가 평균 9%, 화학 산업분야가 평균9%의 자산배분이 이루어지는 등의 순으로 투자가 이루어졌다.

한편 <그림 4>는 <표 3>에서 추정한평균과 표준편차값을 연율화(annualize)시킨 값으로 mean-standard deviation diagram을 나타낸 것이다. 지배원리에 의하여 제2사분면에 위치한 산업지수가 위험이 낮으면서도 높은 수익을 내고 있어 포트폴리오의 가중치 순위가 높으며, 수익은 낮지만 위험이 낮은 제3사분면에 위치한 포트폴리오의 가중치 또한 상대적으로 높다는 것을 알 수 있다. 제1사분면에 위치한 산업지수는 높은 수익률을 가지고 있지만, 위험 또한 높기 때문에 상대적으로 포트폴리오 가중치비율이 낮다. 이러한 결과는 앞에서 제시한 대부분의 포트폴리오 모형이 투자자의 최소요구수익률을 만족하는 범위내에서 위험을 최소화시키는 것을 목적함수로 사용하였기 때문인 것으로 해석될 수 있다. 그림의 중앙 근처에 위치한 유통업, 종이목재, 운수장비등의 산업지수들은 포트폴리오에 구성되는 가중치 비율이 가장 낮다. 그 이유는 중앙에 위치한 산업지수는 전반적으로 수익률이나 위험의 정도가 다른 산업지수에 비하여 중간

<표 3> 포트폴리오 구성에 사용된 10개년도의 산업지수별 기초통계량

산업지수	Mean	Std. Dev.	Skewness	Kurtosis	Jarque-Bera	P-value
보험업	0.113%	0.024	0.200	6.380	1306.47	0.000
증권	0.114%	0.030	0.474	6.790	1721.60	0.000
은행	0.029%	0.024	0.170	5.929	980.98	0.000
운수창고	0.118%	0.024	-0.162	6.508	1399.81	0.000
건설업	0.102%	0.024	0.408	8.594	3604.27	0.000
유통업	0.077%	0.022	0.013	6.097	1082.22	0.000
운수장비	0.078%	0.021	-0.007	6.308	1234.57	0.000
전기전자	0.135%	0.022	0.169	6.603	1477.09	0.000
기계	0.101%	0.022	-0.175	6.325	1261.07	0.000
철강금속	0.096%	0.020	0.072	7.100	1897.92	0.000
비금속	0.089%	0.019	-0.008	5.989	1007.78	0.000
의약품	0.118%	0.020	-0.057	8.479	3386.79	0.000
화학	0.117%	0.018	0.006	5.418	659.22	0.000
종이목재	0.074%	0.019	-0.541	7.715	2639.38	0.000
섬유의복	0.057%	0.017	-0.375	7.701	2555.84	0.000
음식료	0.128%	0.016	0.162	6.588	1463.71	0.000

에 위치해 있기에 포트폴리오를 구성할 때 기대수익률을 높이거나 위험을 낮추는 것에 대한 기여도(contribution)가 상대적으로 낮기 때문인 것으로 해석될 수 있을 것이다. 특이한 점은 은행업 분야는 수익과 위험측면에서 매력적인 산업분야가 아님에도 투자비중이 많이 이루어진 것은 주목할 만하다. <표 4>에서 9개의 모형 중 Conditional EWMA VaR모형이 평균 25%, Conditional Normal VaR모형이 평균 22%를 투자하여 은행업의 투자비중을 높이는 데 기여하였음을 알 수 있다.

지금부터 앞에서 도출한 자산배분율을 사용하여 구축한 VaR모형별 포트폴리오의 부의 가치변화를 투자기간 1년동안 평가할 것이다. 1회분석을 할 때마다 1년 동안 매 월말마다 투자기간의 초기시점에 포트폴리오에 투자한 1원의 가치변화분이 계산된다. 이 때 측정된 9가지포트폴리오의 가치변화분에 대하여 매 월말마다 순위(Rank)를 매긴다. 분석 기간동안 월별 순위가 계산되어지므로 1년동안 12개월분에 해당하는 12개의 순위데이터가 산출된다. 총 10회 시뮬레이션을 시행하므로 120개(12개/1회당*10회)의 순위데이터가 산출된다. 산출된 순위데이터를 해석하는 방법은 여러 가지가 될 수 있으나, 본 연구에서는 분석 기간동안의 특정 순위 내에 진입한 횟수로 평가하기로 한다. 즉, 매 월 특정 VaR모

<표 4> 10개년도의 포트폴리오 평균가중치(Average portfolio weight)

Asset	구성비율									평균
	C_VaR	C_EWMAVaR	EWMAVaR	C_EmpiricalVaR	EmpiricalVaR	C_NormalVaR	NormalVaR	C_MVaR	MVaR
음식료	0.44	0.16	0.18	0.07	0.31	0.06	0.28	0.51	0.31	0.26
은행	0.03	0.25	0.04	0.07	0.03	0.22	0.05	0.02	0.11	0.09
화학	0.01	0.16	0.06	0.05	0.26	0.06	0.06	0.01	0.11	0.09
철강금속	0.09	0.11	0.05	0.07	0.18	0.05	0.07	0.03	0.06	0.08
비금속	0.18	0.07	0.08	0.01	0.03	0.17	0.07	0.02	0.08	0.08
기계	0.00	0.02	0.03	0.51	0.01	0.06	0.02	0.06	0.00	0.08
섬유의복	0.03	0.01	0.17	0.01	0.02	0.05	0.20	0.00	0.13	0.07
의약품	0.04	0.04	0.08	0.01	0.01	0.05	0.06	0.08	0.04	0.05
전기전자	0.08	0.03	0.06	0.01	0.04	0.08	0.05	0.03	0.03	0.05
건설업	0.06	0.01	0.03	0.03	0.04	0.09	0.02	0.06	0.03	0.04
보험업	0.02	0.11	0.04	0.06	0.04	0.07	0.02	0.00	0.01	0.04
운수창고	0.01	0.02	0.02	0.08	0.01	0.00	0.02	0.08	0.02	0.03
종이목재	0.01	0.01	0.11	0.01	0.01	0.01	0.05	0.00	0.04	0.03
증권	0.00	0.01	0.01	0.01	0.00	0.01	0.00	0.06	0.00	0.01
유통업	0.00	0.00	0.03	0.00	0.00	0.00	0.01	0.01	0.03	0.01
운수장비	0.00	0.00	0.04	0.00	0.01	0.00	0.02	0.00	0.01	0.01
합 계	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00

형의 포트폴리오 순위가 3위이내로 진입한 횟수와 7위이하로 떨어진 횟수를 사용하여 순위의 편차값을 계산하고 그 값을 기준으로 우열을 평가한다.

[eqn: D _{Rank} ^{P} `=`( NU umber _{Rank<3} ^{P} `-` NU umber _{Rank>7} ^{P} `)]                   (19)

여기서, [eqn: D _{Rank} ^{P}]는 포트폴리오 P의 순위의 편차값이며, [eqn: NU umber _{Rank`<3} ^{P}] 는 P 포트폴리오의 3위이내 진입횟수, [eqn: NU umber _{Rank`>7} ^{P}]는 P포트폴리오의 7위이하 진입횟수를 의미한다. 이런 평가방식은 특정 VaR모형의 포트폴리오 성과가 다른 모형에 비하여 얼마나 우월하였는지를 나타내는 지표로 상위권에 머무른 횟수뿐만 아니라 다른 분석기간에서 하위권으로 진입한 경우도 반영하기 때문에 투자자에게 유용한 지표가 될 수 있을 것이다.

위의 방법으로 총 10기간에 대한 각 VaR모형별 포트폴리오의 부의 가치변화에 대한 순위평가결과가 <표 5>에 나타나 있다. 첫 번째 분석기간인 제1기간에

<그림 4> 산업지수에 대한 Annualized Mean-Standard Deviation Diagram

※()안은 포트폴리오 평균가중치 순위

서는 Modified VaR모형과 EWMA VaR모형이 다른 포트폴리오 선택기준에 비하여 가장 우수한 것으로 나타났으며, 1기간전체기간중 10개월 동안 지속적으로 3위이내의 순위권에 머물러 있었음을 알 수 있다. 제2기간에서는 Normal VaR모형에 의한 포트폴리오가 가장 우월한 성과를 나타낸 것으로 조사되었으며, 3위이내 진입횟수는 12회로 분석 기간동안 계속 순위권내에 있었음을 나타낸다. 또한 제3기간에서는 역사적분포에 의한 empirical VaR모형과 MVaR모형이 가장 우수한 것으로 나타난다. 이러한 결과들은 각 분석 기간동안 포트폴리오 선택기준의 우열이 일정하게 나타나고 있지 않다는 것을 알 수 있다. 따라서, 각 모형별 포트폴리오의 성과의 우열을 가릴 때 가능한 한 반복적으로 측정하여야 할 필요가 있음을 시사하고 있다. 본 연구에서는 전체 분석 기간동안의 순위의 편차를 조사한 결과 Uryasev(2000)과 Rockafellar and Uryasev(2000)가 제안한 Conditional VaR모형이 120개월의 평가기간동안 3위이내의 진입횟수는 65회, 7위이하로 떨어진 횟수는 14회이며, [eqn: D _{Rank} ^{P=CVaR}]값은 51회로 가장 우수한 포트폴리오 선택기준모형으로 나타났다. 그 다음 순위인 Modified VaR모형의 [eqn: D _{Rank} ^{P=MVaR}]값이 47회로서 1위인 CVaR모형과 큰 차이를 보이고 있지 않으나, 3위인 Normal VaR모형의 [eqn: D _{Rank} ^{P=Normal`VaR}]값은 24회, 4위인 EWMA VaR모형은

<표 5> 기간별 포트폴리오 가치변화에 대한 월별 순위(RANK) 평가 결과

시행 횟수	항 목	C_VaR	MVaR	NormalVaR	EWMAVaR	C_EWMAVaR	EmpiricalVaR	C_MVaR	C_NormalVaR	C_EmpiricalVaR
1기간 (1989)	상위 3이상	1	10	0	10	3	0	4	8	0
	하위 7이하	0	0	7	0	6	9	3	0	11
	편 차	1	10	-7	10	-3	-9	1	8	-11
	Rank	4	1	7	1	6	8	4	3	9
2기간 (1992)	상위 3이상	9	0	12	10	0	5	0	0	0
	하위 7이하	0	0	0	0	12	0	11	1	12
	편 차	9	0	12	10	-12	5	-11	-1	-12
	Rank	3	5	1	2	8	4	7	6	8
3기간 (1993)	상위 3이상	11	0	0	1	0	12	12	0	0
	하위 7이하	0	6	0	0	12	0	0	12	6
	편 차	11	-6	0	1	-12	12	12	-12	-6
	Rank	3	6	5	4	8	1	1	8	6
4기간 (1994)	상위 3이상	12	3	0	3	9	1	0	8	0
	하위 7이하	0	0	1	0	0	9	12	2	12
	편 차	12	3	-1	3	9	-8	-12	6	-12
	Rank	1	4	6	4	2	7	8	3	8
5기간 (1998)	상위 3이상	10	8	11	2	4	0	1	0	0
	하위 7이하	0	0	0	0	0	12	0	12	12
	편 차	10	8	11	2	4	-12	1	-12	-12
	Rank	2	3	1	5	4	7	6	7	7
6기간 (1999)	상위 3이상	7	11	1	4	12	0	1	0	0
	하위 7이하	0	0	1	4	0	9	10	0	12
	편 차	7	11	0	0	12	-9	-9	0	-12
	Rank	3	2	4	4	1	7	7	4	9
7기간 (2001)	상위 3이상	12	7	5	0	4	3	1	0	4
	하위 7이하	0	1	0	11	3	0	7	6	8
	편 차	12	6	5	-11	1	3	-6	-6	-4
	Rank	1	2	3	9	5	4	7	7	6
8기간 (2003)	상위 3이상	0	2	0	0	12	12	5	5	0
	하위 7이하	2	2	9	10	0	0	1	2	10
	편 차	-2	0	-9	-10	12	12	4	3	-10
	Rank	6	5	7	8	1	1	3	4	8
9기간 (2004)	상위 3이상	0	12	12	12	0	0	0	0	0
	하위 7이하	6	0	0	0	11	7	2	10	0
	편 차	-6	12	12	12	-11	-7	-2	-10	0
	Rank	6	1	1	1	9	7	5	8	4
10기간 (2005)	상위 3이상	3	6	3	1	5	10	1	0	7
	하위 7이하	6	3	2	4	5	0	5	7	4
	편 차	-3	3	1	-3	0	10	-4	-7	3
	Rank	6	2	4	6	5	1	8	9	2
Total	상위 3이상	65	59	44	43	49	43	25	21	11
	하위 7이하	14	12	20	29	49	46	51	52	87
	편 차	51	47	24	14	0	-3	-26	-31	-76
	Rank	1	2	3	4	5	6	7	8	9

※()안은 포트폴리오 최적배분율 계산에 사용된 기간

[eqn: D _{Rank} ^{P=EWMA`VaR}]이 14회로써 1,2위와 상당한 격차가 벌어져 있음을 알 수 있다. 전반적인 결과를 놓고 봤을 때 Rockafellar and Uryasev(2000)가 제안한 CVaR모형은 뛰어난 성과를 보였지만, Biglova, Ortobelli, Rachev, Stoyanov(2004)에 의한 CVaR모형은 오히려 일반적인 VaR모형보다 대체로 성과가 저조하게 나타나고 있다. 이러한 결과는 VaR모형을 초과하는 기대손실을 관리하는 CVaR모형이 항상 투자자에게 이로운 결과를 가져다 주지는 않는다는 것을 의미한다. 또한 CVaR모형도 여러 가지 방법으로 측정이 가능한 만큼, 어떠한 방법으로 측정하고 관리하는 것이 합리적인가에 대한 선택의 문제가 발생하므로 실무에서 적용할 때 그러한 점을 유의해야 함을 시사하고 있다.

IV. 요약 및 결론

IMF위기 이후 국내에서는 시간이 흐를수록  위험관리에 대한 수요가 증가하고 있다. 따라서, 적절한 위험관리기법에 대한 연구에 대한 필요성이 증가하고 있다. 국내의 많은 연구들은 VaR모형에 관하여 위험예측력 검정위주의 연구가 주를 이루고 있으나, 실무적으로는 VaR모형을 사용한 포트폴리오의 수익률에 대한 고려를 하지않을 수 없을 것이다. 본 연구는 정규분포를 따르지 않는 실제 시장에서 정규분포를 가정한 전통적 모형과 이에 대한 대안모형들의 성과를 비교 평가하여 어느 모형이 투자자에게 유용한 것인지 알아보고자 하였다. 즉, 본 연구에서는 서로 다른 VaR모형들과 VaR모형을 초과하는 기대손실을 관리하는 CVaR모형들을 기반으로 하는 최적 포트폴리오 선택기준들을 사용하여 자산 배분 모형들을 수립하고 모형간의 성과를 비교하였다. KOSPI지수를 구성하는 16개 산업지수의 일별 수익률 데이터를 1989년 1월5일부터 2006년 12월 28일까지간의 자료를 사용하여 성과를 비교 평가하였으며, 이 때 투자기간을 1년으로 하여 총 10회 반복 평가하였다. 각 투자 기간 내에서는 다시 성과의 지속성을 체크하기 위하여 월별로 포트폴리오간의 성과 순위(Rank)를 평가하였으며, 이러한 평가방법은 선행연구들과 차별성을 가진다. 분석결과 정규분포를 가정하지 않은 CVaR모형이나 MVaR모형의 성과가 정규분포를 가정한 다른 모형에 비해서 우수한 성과를 내는 것으로 결론이 내려졌다. 따라서, 실제 자산의 수익률이 정규분포를 따르지 않는 상황하에서는 정규분포를 가정한 모형은 우수한 모형이 될 수 없음을 시사하고 있다.

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