KOSPI200 현․선물 가격간의 장기균형관계에 대한 연구

김태혁, 임순영, 박갑제

부산대학교 경영학부 교수(tahykim@pusan.ac.kr, 051-510-3584)

부산대학교 경영학과 박사과정 수료

부산대학교 NURI 사업단 기금교수

	<요약>
본 연구는 기초자산인 KOSPI200과 KOSPI200 선물 가격 사이의 장기적 균형관계를 살펴 봄에 있어 기존의 정수 공적분(integer cointegration) 방식 보다 일반화된 방식인 분수 공적분(fractional cointegration) 방식을 이용하여 살펴보았다. 두 가격 시계열들 사이의 분수 공적분의 존재여부는 두 시계열 사이의 장기적인 균형관계에 대한 보다 폭넓은 정보를 제공한다. 분수 공적분은 두 가격 시계열들 사이의 장기적인 균형관계 뿐 아니라 균형오차항의 적분계수를 살펴봄으로써 균형관계로부터 이탈되었을 시 균형으로 회귀하는 속도를 파악할 수 있게 한다. 본 연구의 실증분석 결과 KOSPI200 현․선 시장 간에는 분수 공적분 관계가 성립함으로써 장기적인 균형관계가 존재하였으며, 두 가격 시계열의 오차항에 대한 적분계수 d 값이 bandwidth 모수 m값 173을 제외한 모든 값에서 0<<1/2값을 가짐에 따라 두 가격 시계열은 안정적인 장기기억 과정을 따르고 있음을 알 수 있다. 이는 두 가격 시계열들 사이의 균형가격에 대한 충격의 영향이 쌍곡선율(hyperbolic rate decay)로 매우 느리게 감소하는 특성을 표현 하고 있으며, 균형가격으로부터 이탈 하였을 때 오차항의 회귀속도가 매우 느리게 진행되고 있음을 의미한다. 이러한 실증결과는 KOPSI200 현물시장과 선물시장 사이의 정보이전이 효율적으로 작동하지 못하고 있음을 시사한다고 볼 수 있겠다. 이는 동일한 기초자산을 이용하여 위험을 헤지 하거나 시장간 차익거래를 통하여 초과이윤을 얻고자 하는 시장 참여자들에게 있어 그들의 투자전략이 어떻게 변화 하여야 되는지에 대한 정보를 함의하고 있다고 할 수 있다.

key word : KOSPI200, 장기균형관계, 분수 공적분, 장기기억

I. 서론

1996년 5월 3일 금융선진화를 위하여 KOSPI200(이하 현물)에 대한 주가지수선물시장이 개설되었으며, 1997년 7월 7일 주가지수 옵션시장이 개설되었으며, 이러한 주가지수 선물, 옵션 시장은 짧은 역사에도 불구하고 양적, 질적으로 비약적인 성장을 거듭해왔다. 이러한  우리나라의 파생상품시장(주가지수 선물, 옵션시장)은 개장 초기에는 투기목적만을 가진 투기자(speculator)에 의해 주로 거래가 이루어졌으나 해를 거듭할수록 차익거래(arbtrage)와 기관투자가의 프로그램매매가 늘어남에 따라 시장은 더욱 성숙해지고, 효율적으로 운영할 수 있는 계기가 마련되고 있다. 이러한 주가지수 파생상품시장의 양적, 질적 팽창은 각계의 관심의 대상이 되었으며, 학계에서는 주가지수 현물시장과선물시장간의 상호관계에 대한 폭넓은 연구로 이어졌다. 특히 주가지수 선물시장과 현물시장과의 정보이전효과의 효율성 여부를 규명하기 위한 연구들이 다양하게 진행되어졌다. 주가지수 선물가격이 기초자산인 주가지수 현물가격에 기초하여 형성되기 때문에 두 시장 간에는 일정한 관계가 성립되게 된다. 두 시장간의 균형관계와 균형관계가 이루어졌을 때 예기치 못한 충격이 발생하였을 경우 두시장의 반응 속도에 따라 시장간의 효율성 정도를 가늠할 수가 있을 것이다. 따라서 본 연구에서는 KOSPI200 현물시장과 선물시장사이의 장기균형관계의 존재 여부와 두 시장 간의 선형결합(오차항)의 특성을 파악하여 두 시장 사이의 정보이전의 효율성을 살펴보고자 한다.  현물과 선물간의 균형관계를 실증하는 방법으로 두 시계열간의 공적분 분석방법이 주로 이용되고 있다. 대부분의 연구는 정수차분을 전제로 한 공적분 모형을 사용하고 있으나 이 방법은 불안정한 시계열 자료를 필요이상으로 차분함으로써 표본자료가 내포하고 있는 정보를 충분히 반영하지 못하는 구조적인 문제점을 지니고 있다. 본 연구에서는 시계열의 안정적인 조건을 I(0)와 (1)과 같은 정수차원의 엄격한 제한이 아니라 분수차원으로 완화하여 장기균형관계를 파악하고자 한다. 또한 어떤 시계열 시리즈가 0과 1사이의 분수 적분을 가진다면 해당 시계열은 장기기억을 따른다고 할 수 있다. 따라서 KOSPI200현물시장과 선물시장 사이의 선형결합(오차항)에 장기기억이 존재 한다면, 이것의 경제적 의미는 두 시장 간의 관계에 대한 분석에 있어서 상당히 중요하다고 할 수 있다. 즉 두 시장의 오차항의 장기기억특성이 거래전략에 대해 가지는 경제적 의미는 기존의 효율적 시장가설에서 의미하는 바와는 달라질 것이다. 효율적 시장가설에 의하면 시장 내 정보는 즉각적으로 가격에 반영되어야 하는데 장기기억의 특성을 가진다면 과거의 정보는 계속해서 현재까지 영향을 미치므로 시장은 효율적이지 못함을 시사하기 때문이다. 따라서 본 연구에서는 KOSPI200 현물과 선물시장간의 상호 효율적인 정보이전효과를 살펴보기 위한 장기 균형관계와 두 시장 간의 선형결합이 장기기억 특성을 가지는지 파악함으로써 시장의 효율성 정도를 파악하고자 한다.

먼저 KOSPI200 현물 시장과 KOSPI200 선물 시장 간의 장기균형관계에 대하여 보다 심도 깊게 살펴보고자 한다. 기존의 선행연구들에서는 두 시장간의 장기균형관계를 살펴보기 위하여 가장 일반적인 방법으로 공적분과 오차수정모형을 이용하여 그 특성을 파악하고 있음을 알 수 있다. 그러나 이러한 분석방법은 각 시장변수들이 각각 단위근을 가지는 불안정한 시계열들(I(1))이며, 그들의 선형결합에 대한 균형오차가 안정적인 시계열(I(0))을 형성한다는 정수차분에서의 논의이다. 그러나 본 연구는 현물시장과 선물시장의 가격 시계열들 사이의 장기균형관계를 파악하기 위하여 정수 공적분(integer cointegration)방식에 근거한 검증방법 이외에 정수차분으로의 제약을 두지 않고 분수차분을 허용한 분수 공적분(fractional cointegration) 방식을 이용하고자 한다. 시계열 변수들 사이의 분수 공적분의 성립여부는 그들 사이의 장기균형관계에 대한 보다 폭넓은 정보를 제공한다.  우선 시계열 변수들 사이의 오차항이 정수 차분되지 않고 분수 차분 된다는 것은 해당 시계열이 분수 공적분 되어 있음을 의미한다. 또한 분수 공적분 모형은 오차항의 차분계수를 중심으로 두 시장 간에 장기기억과정이 성립하는지 여부를 살펴봄과 동시에 균형으로부터 이탈되었을 경우 회귀하는 속도에 대한 정보를 제공한다. 만약 시계열 자료에 장기기억 현상이 존재한다면 과거의 자료가 미래의 가격변수 행태를 예측하는데 유용한 정보를 제공한다는 것을 의미하며, 이는 기존의 선행연구들에서 두 시장 변수들 간의 선도-지연관계를 설명함에 있어서 또 다른 대안 모형이 있을 수 있음을 암시한다고 할 수 있다. 따라서 동일한 기초자산을 이용하여 위험을 헤지하거나 시장간 차익거래를 통하여 초과이윤을 얻고자 하는 시장 참여자들에게 있어 그들의 투자전략이 어떻게 변화하여야 되는지에 대한 정보를 함의하고 있다고 할 수 있다.

김태혁, 강석규, “KOSPI200 하루 중 선물수익률과 현물수익률간의 선형인과성에 관한 연구”, 재무관리연구 제         17권 1호, 2000.6, 203~226

김찬웅, 문규현, “우리나라 주식, 선물, 옵션시장에서의 선도/지연효과에 관한 연구”, 재무연구 제 18권        제 1호, 2001.6. 129-156

Chan, K., "A further Analysis of the Lead/Lag Relationship between the Cash market and Stock Index Futures Market", Review of Financial Studies, 5, 1992, 123-152

Herbst, McCormack and West, "Investigation of a Lead/Lag Relationship between Spot Stock Indices and Their future contracts", Journal of Futures Market, 1987, 7, 373-381

Pizzi, Economopoulos, O'neill, " An Examination of the relationship between Stock and Index Cash and Futures Markets : A cointegration Approach", journal of Futures Market, 18, 1998, 297-305

본 논문의 구성은 다음과 같다.

제 I장은 서론으로 연구배경 및 목적에 대해서 소개하고, 제 II장은 주가지수현물, 선물가격간의 관계와 분수 공적분을 이해하기 위한 장기기억 및 공적분과 분수공적분에 대한 이론적 배경 및 연구 모형에 대해서 살펴 볼 것이다. 제 III장에서 주가지수 현물, 선물의 시계열 자료들의 특성 및 실증분석결과를 제시하고, 제 IV장에서는 결론 및 한계점에 대해서 논하고자 한다.

II. 이론적 배경 및 연구모형

1. 주가지수와 주가지수 선물가격간의 장기균형관계

(1) 주가지수 선물과 현물가격간의 관계

이론적으로 선물 가격의 결정은 보유비용모형(cost of carry model)과 무차익거래(no arbitrage principle)에 의해 결정된다고 볼 수 있다. 시장이 효율적이고 연속적인 완전시장(perfect market)이고 비확률적인 이자율(non-stochastic interest)이라는 가정 하에 선물가격과 기초자산 가격과의 관계는 아래의 식과 같다.

(1)

(: t 기의 선물가격, : t 기의 현물가격, r: 무위험 이자율, d: 연속적 배당수익률

T: 선물의 만기)

이를 수익률로 나타내면 다음과 같은 관계로 표현된다.

(2)

(, )

식(1)이 모든 시간에 대하여 성립한다는 가정 하에 식(2)가 가지는 의미는 첫째, 동일시점에서의 선물수익률과 현물수익률은 완벽한 양의 상관관계(+1)에 있으며 둘째, 시점이 다른 현물시장과 선물시장의 수익률의 교차상관계수는 0이며, 현물과 선물 수익률의 자기상관계수는 0임을 나타낸다. 그러나 현실적으로 거래비용, 비동시적 거래, 매도매수호가의 차이, 공매의 제약 등의 영향으로 인하여 식 (1)의 관계가 성립하지 않으므로 현물시장과 선물시장 간에는 선도-지연 관계가 나타날 수 있는 것이다.

(2) 장기균형관계

적분된 변수들의 선형결합에 의해 한 개의 안정적 변수가 만들어 지는 경우를 공적분이라 하고, 이는 적분된 변수들 사이의 장기균형관계로 해석 할 수 있다. 이러한 공적분 모형이 가지는 경제적 의미는 시계열변수들이 확률변수 또는 단위근을 가지고 있는 경우에 적분된 변수들 사이의 장기균형관계로 정의 할 수 있으며, 여기서 균형(equilibrium)이란 엄격한 의미에서의 최적상태가 아니라 넓은 의미에서의 안정된 상태를 의미한다. 만일 이러한 제이론이 성립한다면, 변수들 간의 선형 결합은 안정적인 시계열과정을 가져야만 한다. 또한 변수들의 값이 정확한 장기균형을 이룬다면, 그것들의 선형결합에 의하여 발생하는 오차항은 0이다. 그러나 예기치 못한 충격으로 인해 장기균형에서 일시적 또는 단기적 이탈이 발생 하면 오차항은 0이 아니다. 따라서 오차항이 안정적이라는 사실은 단기적 이탈이 오래 지속되지 않음을 의미하는 것이다. 본 연구에서는 변수들 사이의 장기균형관계를 공적분의 개념을 도입하여 분석하고자 하며, 특히 정수 공적분 개념으로 파악한 장기균형관계와 좀 더 일반화된 모형인 분수 공적분 개념을 적용시킨 장기균형관계에 대한 성립여부를 살펴보고자 한다. 일반적으로 정수 공적분 모형에서는 두 시계열 변수들의 선형결합인 오차항이 I(0)이면 공적분이 존재하며, 이 둘 사이에는 장기적인 균형관계가 성립한다고 할 수 있다. 그러나 분수 공적분에서는 두 시계열 변수들의 선형결합에 의한 오차항이 반드시 I(0)가 아니여도 그 적분계수값(d)가 -1/2<d<1/2 사이의 실수의 값을 가지면 안정적인 시계열로 간주하고, 이 또한 장기적인 균형관계가 존재하는 것으로 설명하고 있다. 또한 분수 공적분에서 균형오차항의 적분계수(d)의 범위에 따라 오차항이 안정적인 장기기억과정을 따르는지 불안정한 장기기억과정을 따르는지를 살펴 볼 수 가 있다. 어떤 시계열 변수가 장기기억과정을 따른다면 시계열에 가해진 충격의 영향이 지수적(exponential decay)으로 감소하지 않고 쌍곡선율(hyperbolic rate decay)로 매우 느리게 감소함을 뜻한다. 이에 대한 구체적인 설명과 적분계수 d값의 추정방법은 아래와 같다.

2. 장기기억과 분수차분계수의 추정

ARMA 등과 같은 단기기억모형에 의하면 금리나 주가수익률과 같은 금융시계열 자료에 있어서 과거의 외부 충격은 시차가 증가함에 따라 곧 사라지며 이에 따라 자기공분산(autocovariance)도 어느 정도의 시차가 지나면 0이 된다. 그러나 장기기억을 가진 시계열에 있어서 외부충격의 영향은 상당기간 지속되며 자기공분산도 훨씬 서서히 감소하는 경향을 가진다. 따라서 금융시계열의 특성에 관한 최근의 연구들은 시계열에 가해지는 충격의 지속성(persistence)에 대하여 관심을 집중하고 있다. 이러한 지속성에 대한 연구는 주로 시계열자료에서 단위근이 존재하는지를 검정함으로써 진행되어 오고 있다. 이는 불안정한 시계열변수들 간의 선형결합이 안정적일 수 있다는 공적분 관계에 대한 검정으로 진행되고 있지만, 이들의 장기균형관계, 즉 충격의 지속성 정도에 대한 측정에서 I(0)과정과 (1)과정의 면도날 같은 구별(knife-edge distinction)은 너무 제약적이라는 견해가 제시되고 있다. 이에 따라 Granger-Joyeux(1980), Hosking(1981) 등은 충격의 영향이 장기간 걸쳐 영향을 주는 특성에 대하여 표현 가능한 분수 적분 ARMA(fractionally integrated ARMA : ARFIMA)모형을 제시하였다. 이러한 ARFIMA 모형에서는 차분계수(d)가 반드시 정수일 필요가 없으며 -1/2<d<1/2 일 때 시계열은 안정적이고 가역적인 ARMA 과정이 된다는 것을 보여 주었다. 이것은 I(0)과정에서 자기상관계수 값의 지수적 감소(exponential decay)와 I(1) 과정에서의 무한 지속성(infinite persistence)을 포함하여, 자기상관계수 값이 쌍곡선율(hyperbolic rate)로 느리게 감소하게 되는 특성도 표현 할 수 있는 ARIMA모형의 일반화된 것으로 볼 수 있다.

즉, 분수차분 안정적 시계열(fractionally stationary time series)는 정수차분 시계열 모형보다 더 일반적인 형태라 할 수 있다. 시계열구조 [eqn: `X _{t}], [eqn: t=1,..,n]를 (단, [eqn: -1/2<d<1/2])차 차분하여 만든 시계열 [eqn: W_t =(1-B)^d X_t]가 안정적인 [eqn: ARMA(p, q)]를 따를 때 [eqn: X_t]를 안정적 [eqn: ARFIMA(p,d,q)]라고 하고 다음과 같이 시차다항식(lag polynomial)을 사용하여 나타낼 수 있다.

(4)

단, B=시차연산자(lag operator)

,  : 시차다항식          (5)

표준적인 ARIMA 모형의 경우에 차분계수 의 값은 항상 정수의 값을 가진다. 즉, 이 모형에 있어서 시계열이 안정적인 경우에는 의 값을 가지며, 단위근이 존재하는 불안정적인 경우에는 1또는 그 이상의 정수값을 가지게 된다. 그러나 ARFIMA모형은 차분계수 가 정수가 아닌 실수값을 가질 수 있으므로 ARIMA 모형을 더 일반화 한 것으로 볼 수 있다. ARFIMA과정 는 와 의 모든 근이 단위원(unite circle) 외부에 있고 차분계수가 -1/2<<1/2 이면 안정적이고 가역적인 시계열임 됨을 알 수 있다. 그러나 만약 이라면 이 과정은 무한분산(infinite variance)을 가지게 되므로 불안정적인 시계열이 된다. 따라서 차분계수 를 정수가 아닌 실수차원으로 그 범위를 넓히므로서 분수적분모형은 표준적인 시계열모형보다 더 넓은 저빈도, 평균회귀 동학을 포함할 수 있게 된다. 시계열의 평균회귀 특성은 인가 아닌가에 따라 달리 해석 될 수 있는바, 식 (4)는 특수한 경우로 을 포함한다. 그러므로 과  사이의 구별은 의 평균회귀성향을 파악하는 있어서 매우 중요하다. 즉 의 경우에는 충격의 지속성은 영원하지만, 인 과정에서는 충격의 영향이 아주 느리게 감소하지만 결국에는 사라져 0이 된다는 것이다. 이는 식 (6)의 이동평균(MA) 표현식을 이용하여 보여 질 수 있다.

(6)

여기서

로 나타내 질 수 있다. 이러한 이동평균계수 를 Campbell-Mankiw(1987)는 충격반응계수(impulse response coefficient)라 하였으며, 시점 t에서 시계열 에 가해진 한 단위의 충격은 시점 t+k에서 가 된다. 즉 평균회귀과정에서는 이러한 누적충격반응계수의 무한합 A(1)이 0이 되며, 이는 충격의 영향이 결국에는 사라지게 됨을 의미하는 것이다.

또한 Cheung-Lai(1993)는 [eqn: d`<`1`]일 경우에 [eqn: A(1)=0]이 되므로 충격의 영향이 소멸하며, [eqn: d`>=`1`],[eqn: A(1)` != `0]이면 충격의 효과는 영구히 사라지지 않음을 보였다. 즉, 평균회귀성향([eqn: A(1)=0])은 [eqn: d`<`1`]인 경우에만 나타난다. 따라서 분수차분에 대한 검정이 평균회귀의 존재를 결정하는데 이용될 수 있으며 [eqn: d`]의 크기를 통해 충격의 지속성 정도까지 파악할 수 있음을 보여 주었다.

조하현, 이승국(2003)

이에 대하여 Gourieroux and Monfort(1997)는 ARFIMA(p,d,q)모형을 다음과 같이 정의하고 확률과정의 특성에 대하여 분류를 하였다.

(7)

위 식에서

a) 만일  이면, 확률과정 {}는 점근적 안정(asymtotically stationary) 이다.

b) 만일  이면, 확률과정 {}는 점근적 불안정(asymtotically nonstationary)이다.

c) 만일  이면, {}는 단기기억(short-memory)과정이다.

d) 만일  이면, 확률과정 {}는 장기기억(long-memory)과정이다.

즉 ARFIMA(p,d,q) 과정 {}는 다음의 특성을 가지는 것으로 정리될 수 있다.

1) {}가 점근적 안정적인 과정이기 위한 필요충분조건은  이다.

2) 만일 이면, {}는 점근적 안정적이며, 장기기억과정이다.

3) 만일 이면, {}는 점근적 안정적이며, 단기기억과정이다.

이 분수차분계수 를 추정하는 방법으로는 대표적으로 GPH(Gewecke and Porter-Hudak(1983))방법과 MMR(modified rescaled range)방법(Lo, 1991) 그리고 MLE(maximum likelhood estimation)방법(Sowell, 1992) 등이 있다. 본 연구에서는 장기기억모수 를 추정하기 위해 GPH(1983) 추정량을 사용하고자 하며 다음과 같이 도출할 수 있다.

먼저,  차 차분하여 만든 시계열 [eqn: W _{t} =(1-B) ^{d} X _{t}]가 안정적 [eqn: ARMA(p,`q)]를 생성시킬 때 원시계열 의 주파수 에서의 스펙트럴 밀도함수(spectral density function) [eqn: f _{X} (w)]는 다음과 같다.

[eqn: f _{X} (w)=|1-e ^{-iw} | ^{-2d} f _{W} (w),```0 LEQ w LEQ pi]	(8)

단, [eqn: |``ㆍ````|=`]복소수 [eqn: ㆍ]의 크기(length)의 제곱근

[eqn: f _{W} (w)= {sigma _{epsilon } ^{2}} over {2 pi } LEFT | {theta _{q} (e ^{-iw} )} over {phi _{p} (e ^{-iw} )} RIGHT | ^{2}]                                               (9)

에 대한 GPH 추정량은 각각의 푸리에 주파수 [eqn: w _{j} = {2 pi j} over {n} ,```j=1,...,[ {n} over {2} ]] (단, [eqn: [ㆍ]]는 가우스 함수)에서의 피어리드그램(periodgram) [eqn: I _{X} (w _{j} )]을 도출한 후 이것을 아래의 회귀식에 대입하여 를 추정하면 된다.

[eqn: Y _{j} =c+dX _{j} +e _{j} ,```j=1,...,m]	(10)

단, [eqn: Y _{j} =ln`I _{X} (w _{j} )],  [eqn: c=ln`f _{W} (0)], [eqn: X _{j} =|1-e ^{iw _{j}} | ^{2}]

[eqn: e _{j} =ln[I _{X} (w _{j} )/f _{X} (w _{j} )]]

여기서 [eqn: e _{j}]는 i.i.d과정이며 [eqn: X _{j}]는 [eqn: X _{j} =ln[ {1} over {4[sin ^{2} (w _{j} /2)]} ]]로 치환되며 [eqn: Y _{j}]는 [eqn: Y _{j} =ln LEFT ( (2 pi n) ^{-1} | sum _{t=1} ^{n} X _{t} e ^{iw _{j} t} | ^{2} RIGHT )]로 변환되어 종속변수로 들어간다.

Robinson(2001)

그리고 식(4)의 에 대한 OLS 추정량 즉, GPH추정량 의 점근적 분포는 다음과 같다.

[eqn: hat{d} SIM N(d,` {pi ^{2}} over {6 sum _{j=1} ^{m} (U _{j} - bar{U} ) ^{2}} )], 단, [eqn: U _{j} =ln`[4`sin ^{2} (w _{j} /2)]]	(11)

3. 공적분과 분수공적분

공적분은 Engle and Granger(1987)에 의하여 도입된 개념으로 경제나 금융현상에 대한 금융시계열을 분석하는데 효과적으로 이용되는 것으로써 개별적으로 불안정한시계열 자료들간의 선형 결합함수가 안정적인 경우(즉, 이들 변수 간 선형함수의 오차항이 안정적인 경우) 차분된 변수와 오차항으로 표현되는 수준변수를 동시에 고려함으로써 장기균형의 특징을 파악함과 동시에 단기적 조정 과정을 동태적인 측면에서 파악할 수 있는 모형이다. 즉 두 변수 와 가 각각 I(1)변수라고 할 때, 이의 선형결합인 도 일반적으로 I(1) 변수라고 기대할 수 있다. 그러나 만약 이것이 I(1) 변수가 아니라 I(0)로 나타내어 진다면 두 변수 와 가 서로 공적분관계에 있다고 할 수 있다. 일반적으로 나타내면, 변수들 와 가 각각 I(d)와 I(b) 일 때, 이의 선형결합 이 I(d-b), d0이라면  와 는 (d,b)차수로 공적분관계에 있다고 하며, 이때 ,  CI(d,b)라고 표기한다. 이때 벡터 (1,)를 공적분벡터(cointegrating vector)라 하며, 두 변수 간에는 장기적 균형관계가 성립된다고 설명된다. 이 경우 공적분 벡터는 장기적 균형을 나타내는 모수이며, 는 단기간에 장기적 균형으로부터 벗어나는 불균형오차(disequilibrium error)라 한다. 결국 공적분이란 개별적으로는 불안정적인 변수들의 선형결합이 안정적인 상태라 할 수 있다. 이러한 공적분 관계를 검증하기 위한  공적분 회귀식(cointegration regression)은 다음과 같다.

(12)

와 는 공적분 모수이며, 는 균형관계로부터의 오차로써 공적분회귀식의 오차항이다. 여기서 추정잔차 의 단위근을 검정하는 것이 공적분의 존재를 결정하는 것으로 이 추정 잔차의 차분계수는 위 식의 구성요소인 두 변수들의 차분계수보다 낮아야 한다.

선형 공적분관계로만 관심을 제한하면 일반적으로 공적분의 필요조건은 동일한 차분계수를 가지는 것이다. 즉 공적분에 대한 관심은 Robinson-Marinucci(1998)가 설명한 것과 같이 d=1과 b=1로 설정되는 I(1)/I(0) 패러다임으로 제한되어 왔다. 그러므로 일반적인 공적분 검정을 하기 위해서는 사전에 단위근 검정을 먼저 수행해야 한다. 만약 두 변수가 단위근-I(1)과정-을 가진다면 두 가지 형태의 공적분 검정법이 시행 될 수 있는데, 하나는 VAR(Vector Autoregressive)의 프레임웍을 사용하는 Johansen 방식이고, 다른 하나는 OLS 추정치의 잔차에 근거하는 2단계 최소자승법을 사용하는 Engle-Granger 방식이다.  Johansen방식의 공적분 검정은 기존 Engle-Granger 방식의 공적분 검정법이 2변수 이상의 다변량 분석에 있어서 공적분 벡터가 여러 개 존재 할 때 그것을 분리하여 처리하는 체계적인 기능을 갖지 못하는 한계 때문에 제기된 방식이다. 또한 Engle-Granger의 공적분 검정법은 분석대상 변수들을 종속변수와 설명변수로 분리하여 검정을 실시하여야 하는데 어느 것을 종속변수로 선택하느냐에 따라 검정결과가 다르게 나타난다는 단점을 지니고 있다. 이에 반하여  Johansen 방식은 VAR모형에 기반하여 공적분 관계를 추정하므로 모든 변수를 내생변수로 간주하므로 종속변수를 선택할 필요가 없다.

분수 공적분(fractionally cointegration)분석은 공적분 잔차항에서 차분계수를 정수가 아닌 것에 대하여 허용하므로써 일반적으로 불리는 공적분 잔차항을 I(0)로 제한하는 제약을 완화하는 것이다. 즉 d-b가 0이 아니더라도 1보다 작아 평균회귀성향을 보이면 공적분 관계에 있다라고 하는 것이다. 이는 공적분의 기반이 되는 Granger 표기정리(Granger repersentation theorem)에서 공적분 벡터가 정상적이기만 하면 되기 때문이다.  다시 말하면 어떤 변수들에서 분수 공적분 관계는 그들의 오차항이 분수차분과정을 따르게 됨을 의미한다. ARFIMA모형에서 살펴보았듯이 d가 정수가 아니라 분수인 경우, 시계열에 가해지는 충격의 효과는 쌍곡선율(hyperbolically)로 매우 느리게 감소하게 된다. 이는 충격으로 인한 균형으로부터의 단기이탈이 매우 느리게 사라지는 경향을 보이는 것이다. 그러나 일반적인 공적분관계가 성립한다면, 오차항은 I(0)가 되고 충격에 대한 이탈은 상대적으로 빠르게 사라지게 되는 경향이 있다.

동일한 차분계수를 가지는 불안정적인 두 시계열에 대한 분수 공적분 검정을 수행하기 위해서는 우선, 통상적인 공적분검정을 통해서 균형 오차항을 구해야 한다. 그 다음, 그 오차항에 대한 분수차분계수를 추정하여 추정된 차분계수가 0과 1사이의 비정수값으로 나타난다면 두 시계열간에는 분수 공적분 관계가 존재함을 의미한다.

공적분 관계를 분석하는 첫 단계로 두 시계열이 공통의 차분계수를 가지는지를 검정해보아야 한다. 이것을 위해 본 논문에서는 Robinson(1995a)에서 사용된 이변량제약(bivariate constrained) GPH 추정량을 사용하고자 한다. 절차는 다음과 같다.

먼저, 두 시계열 [eqn: X _{t}]와 [eqn: Y _{t}]의 분수차분계수가 동일하다고 가정한 상태에서 [eqn: d]를 추정하기 위한 회귀식은 제약을 반영하여 두개의 회귀식을 표현하는 것을 제외하고는 단변량 회귀식에서와 동일한 구조를 가진다. 즉 다음과 같다.

[eqn: Y _{1j} =c _{1} +dX _{j} +e _{1j} ,```j=1,...,m]                               (13)

[eqn: Y _{2j} =c _{2} +dX _{j} +e _{2j} ,```j=1,...,m]                               (14)

[eqn: Y _{1j} =ln`I _{X} (w _{j} )]                                                 (15)

[eqn: Y _{2j} =ln`I _{Y} (w _{j} )]                                                (16)

위 식들에 반영된 정보를 모두 이용하여 공통의 차분계수 [eqn: d] 를 추정하기 위해서 이 두식을 결합하면 다음과 같다.

[eqn: Y=Z beta +e]                                                    (17)

[eqn: Y= LEFT ( eqalign{Y _{1j}# Y _{2j}} RIGHT )], [eqn: Z= LEFT ( eqalign{1```0```X _{11}# ``....# 1```0```X _{1m}# 0```1```X _{11}# ``....# 0```1```X _{1m}} RIGHT ) _{(2m TIMES 3)}][eqn: beta = LEFT ( eqalign{c _{1}# c _{2}# d} RIGHT )],  [eqn: e= LEFT ( eqalign{e _{1j}# e _{2j}} RIGHT ) ,`j=1,...,m]

그러면 위 식(17)의 OLS 추정량  의 각각은 점근적으로 정규분포하고 일치추정량이 된다. 따라서 공통차분계수의 통계적 유의성을 살펴볼 수 있다.

또한 분수적 공적분이 성립하기 위해서는 차분계수가 같은 두 시계열의 선형결합에 의해 만들어지는 새로운 시계열의 분수차분계수가 원 시계열의 분수차분계수보다 작아야 한다. 그러므로 공적분 관계를 구성하는 두 시계열을 이용한 회귀식의 계수값을 추정한 다음 잔차 시계열의 차분계수를 추정해야 한다.

이러한 금융시장에 있어서 서로 개연성이 있는 개별 시계열간의 장기적인 행태를 파악하기 위해서 표준적인 공적분(CI(1,1) 관계가 아닌 분수 공적분 관계에 대한 선행연구들에 대하여 간략하게 살펴보면 아래와 같다. 먼저 Cheung, Lai(1993)은 1914년부터 1972년까지 연별자료를 이용하여 명목환율과 상대가격간의 분수 공적분에 대한 검정을 통해 PPP를 지지하는 증거를 제시하였다. Bandi and Perron(2006)에서는  S&P100 지수옵션의 실현변동성과 내재변동성에 관한 예측회귀모형에서 나타나는 측정오차와 위험프리미엄의 누락변수문제를 해결하기 위해 주파수영역에서의 최소자승추정량인 NBLS(Narrow Band Least Square) 추정법을 사용하여 예측력을 추정한 결과, 두 변동성 측정치들 간에 분수적 공적분, 즉 장기적 균형관계가 성립한다는 것을 보였다.

또한 국내에서는 조하현, 이승국(2004)이 원/달러 환율과 엔/달러 환율사이의 분수 공적분 관계에 대한 실증분석을 한 결과 둘 사이에는 표준적인 CI(1,1)의 공적분 관계만 존재하는 것이 아니라 균형오차가 장기기억을 가지는 분수 공적분 관계를 가짐을 보여주었다. 이에 따라 이들은 원/달러 환율과 엔/달러 환율사이의 단기적인 동조화 현상을 일반적인 현상으로 받아들이기 어려움을 주장하였다.

따라서 본 연구에서는 불안정한 두 시계열의 선형결합이 안정적 시계열을 가지되 그들의 균형 오차항에 대하여도 I(0)라는 제한적인 제약을 가하지 않고 분수로 차분(0<d<1) 될 수 있도록 완화시키는 분수 공적분 개념을 도입하고자 한다. 이는 각 시장 간의 시계열 자료에 있어서 둘 사이의 균형관계에 대한 충격의 영향이 쌍곡선율로 느리게 감소하는 특성을 표현 할 수 있게 한다. 즉 분수 공적분은 균형오차가 분수 차분된 장기기억과정을 따르고 있음을 의미하는데, 이는 충격으로 인한 영향이 단기에 사라지지 않고 균형가격으로의 회귀가 매우 느리게 나타남을 의미하는 것이다.

III. 실증분석

1. 데이터 및 기초통계량

본 연구에서는 한국증권선물거래소에서 제공하는 KOSPI200 주가지수의 종가와 KOSPI200선물의 최근월물 일별 종가를 이용하였으며, 연구의 전체 분석기간은 각 시장의 거래시간이 일정하게 운영되고, 외환위기의 영향이 거의 소멸되었다고 보여지는 그 이후의 기간인 2000년 3월 2일부터 2006년 7월 31일까지로 한다. 또한 본 연구에서는 현물시장, 선물시장의 가격들 사이의 장기균형관계를 파악하는데 목적이 있으므로 선물시장의 경우는 거래가 가장 많이 발생하는 최근월물을 사용하였다. 이렇게 선택된 각 시장별 종가에 대한 가격 시계열은 각각 1,580개가 선택 되었다.

(그림 1) 현물, 선물의 추이

위 그림 (1)은 2000년 3월 2일부터 2006년 7월 31일까지 각 시장별 종가의 변화추이를 보여주고 있다. 외관상으로 현물과 선물의 경우는 그 변동추이가 비슷한 행태를 보이고 있으며 두 시장의 변화추이를 동시에 그린 그림은 각 시장간이 변화추이가 거의 구별이 안되고 있임을 알 수 있다.이는 현물과 선물시장 사이에 장기적인 균형 관계 즉 공적분 관계가 성립할 것으로 예상 할 수 있다.

(표 1) 기초통계량 비교

	평균	표준편차	왜도	첨도	Jarque-Bera의 Q통계량 (p-value)
현물	105.18	31.96	0.9	3.02	213.98 (0.000000)
선물	105.18	32.07	0.89	3.01	208.51 (0.000000)

Jarque-Bera의 Q통계량은 시계열이 정규분포인지를 검정하기 위한 통계량으로 정규분포에서 만들어진 왜도, 첨도와의 차이를 측정한 것으로 다음과 같이 계산된다.

여기서, S는 왜도, K는 첨도이고, 는 계수의 수임.

정규분포한다는 귀무가설하에서 Q통계량은 분포를 따른다.

또한 위 표(1)의 Jarque-Bera Q통계량으로 볼 때, 현물 및 선물의 가격 시계열은 정규성 가설을 강하게 기각하는 것으로 보여진다.

(표 2) 자기상관계수의 비교

시차	현물	선물
1	0.997	0.997
2	0.994	0.994
3	0.991	0.991
4	0.988	0.988
5	0.985	0.985
6	0.983	0.982
7	0.980	0.979
8	0.978	0.977
9	0.975	0.974
10	0.973	0.972
25	0.935	0.930
50	0.862	0.859
100	0.687	0.683

위의 (표 2)는 시차에 따른 각 시계열(수준)의 자기상관계수를 보여주고 있다. 위에서 보는 바와 같이 현물과 선물의 자료에서는 자기상관이 매우 느리게 감소하고 있으며 이는 현물과 선물가격 시계열이 단위근을 가진 비정상적인 시계열일 가능성이 높음을 보여준다고 할 수 있다. 또한 현물과 선물의 자기상관계수의 감소폭이 거의 비슷하게 나타나는 것으로 보아 두 시계열이 상관되어 있음을 알 수 있다.

2. 단위근 검정

각 시계열 자료들에 대한 자기상관분석에서 현물과 선물가격 시계열은 비정상성(nonstationary)의 증거를 나타내고 있으므로 단위근이 존재하는지를 검정해 볼 필요가 있다. 현물과 선물에 대한 시계열 안정성을 검증하기 위하여 ADF타입의 단위근 검증을 실시하였으며 결과는 아래 (표 3) 과 같다.

(표 3) ADF 단위근 검증결과

		ADF 통계량	비고
현물	수준	-0.32	귀무가설 채택	I(1)과정
	1차 차분	-38.61	귀무가설 기각
선물	수준	-0.43	귀무가설 채택	I(1)과정
	1차 차분	-40.68	귀무가설 기각

* 귀무가설 : 단위근이 존재한다.

** 임계치 : -3.43(1%), -2.86(5%), -2.56(10%)

각각의 가격 시계열에 대하여 ADF타입의 단위근 검증을 실시하기 위하여 시차의 길이는 Schwartz 정보기준(SBC)을 사용하여 가장 낮은 값을 가지는 것에 대하여 최적시차길이로 선택하였으며, 각각의 가격 시계열에 대하여 시간추세항과 절편항을 모두 포함한 모형과 절편항만 포함한 모형, 그리고 시간추세와 절편항을 포함하지 않는 차분 정상 과정 모형을 각각 검증하였으며, 그 결과 현물과 선물은 모두 시간추세의 계수값이 0과 유의적으로 다르지 않다는 귀무가설을 채택함으로써 절편항이 존재하는 모형이 가장 적합한 모형임을 알 수 있었다. 위 (표 3)은 각각의 시계열에 대하여 가장 적합하다고 판단되는 절편항을 포함한 모형에 대한 검증 결과이다.

(표3)에서 보여지듯이 현물, 선물 가격 시계열에 대한 표준적인 단위근 검증결과 현물과 선물은 모두 I(1) 과정임을 보여주고 있다. 그러나 Ooms & Doornik(1999)은 ADF타입의 단위근 검증은 분수 적분된 시계열(I(d), d<1)에 대하여 1차 적분된 시계열 I(1)을 검정하는데 유용하지 못하다고 하였다. 이와 함께 Lee & Schmidt(1996)도 시계열이 안정적인가를 검정하는데는 ADF타입의 단위근 검증보다는 KPSS(Kwiatowski-Phillips-Schmidt-Shin)검증이 시계열이 분수 적분되어 있다는 가설(I(d), d<1)에 대해 시계열이 안정적이라는 가설(I(0))을 검정하는데 검정력을 갖는다고 하였다. 따라서 본 연구에서도 현물, 선물의 1차 차분 시계열이 시계열 안정적이라는 귀무가설을 KPSS 검증하였으며, 그 결과는 (표4)와 같다.

(표 4) KPSS 검정결과

	KPSS 통계량	비고
D(현물)	0.33	귀무가설을 기각할 수 없음
D(선물)	0.32	귀무가설을 기각할 수 없음

* 귀무가설 : 시계열 안정적이다.

** 임계치 : 0.739000(1%), 0.463000(5%), 0.347000(10%)

위 (표 4)에서 알 수 있듯이 KPSS 검증결과도 1% 유의수준에서 귀무가설을 기각할 수 없으므로 현물, 선물의 1차 차분 시계열은 시계열 안정적임을 알 수 있다. 즉 ADF검정과 KPSS 검정 결과를 요약하면 현물, 선물 시계열은 수준에서는 불안정한 시계열이나 1차 차분 혹은 그 이하의 분수 적분을 할 경우에 안정적 시계열이 될 수 있음을 알 수 있다.

3. 공적분 관계 검정

본 연구의 목적은 현물시장과 그로부터 파생된 선물시장 간의 장기적 균형관계를 파악하고자 하는데 있다. 우리는 앞에서 살펴본 바와 같이 두 시계열 변수들에 대한 단위근 검증을 실시한 결과 현물과 선물은 각각 단위근을 가지는 비정상적인 시계열임을 확인하였다. 두 변수들 사이의 관계를 파악하기 위하여는 1차 차분된 변수를 이용하여야 하나 만약 이들의 선형결합이 안정적이라면 단지 차분을 한 후 회귀분석을 하면 변수들 사이의 장기적 관계에 대한 정보가 사라지기 때문에 각 변수들 사이에 안정적인 선형결합이 존재하는지 여부를 검증하기 위해 본 연구에서는 Johansen방식의 공적분 검정을 실시하였다. 공적분 검증을 실시하기에 앞서 두 시계열 변수들 간의 최적시차길이를 선택하기 위하여 VAR모형을 추정한 결과 최적시차의 길이는 Schwartz 정보기준(SBC)에 의하여 4로 선택이 되었으므로 공적분 검증에서는 시차의 길이를 3으로 하였으며, 두 시계열 모두 절편항이 존재하였으므로 공적분 검증에서도 절편항이 포함되는 모형을 선택하여 검증을 실시한 결과는 아래의 (표 5)와 같다.

(표 5) 공적분 검정결과

	귀무가설	Eigenvalue	Trace Statistic	비고
현물-선물	공적분 벡터가 존재하지 않는다.	0.057004	93.16373	1% 유의수준하에서 귀무가설 기각
	적어도 하나의 공적분 벡터가 존재한다.	0.000421	0.663241	1% 유의수준하에서 귀무가설 채택

* 우도비 검정통계량(LR test statistic)은 다음과 같이 계산된다.

여기서 T는 관찰치 수, λ는 특성근의 값.

위의 (표 5)에 나타난 각 시장변수들 간의 공적분 검증결과를 보면 공적분 벡터가 존재하지 않는다는 귀무가설에 대하여 우도비통계량(Trace 통계량)이 1% 유의수준에서 임계치보다 크므로 귀무가설을 기각함을 알 수 있고, 공적분 벡터가 적어도 한 개가 존재한다는 귀무가설에 대하여 우도비 통계량(Trace 통계량)이 1% 유의수준에서 임계치보다 작으므로 귀무가설을 기각 할 수 없음을 알 수 있다. 따라서 현물과 선물 가격간에는 적어도 하나의 공적분 벡터가 존재한다고 볼 수 있으며, 두 시계열 간에는 장기적인 균형관계가 존재하는 것으로 추론할 수 있다. 그렇지만 이러한 결과는 두 변수들 사이의 장기적인 관계에 대한 것이므로 각 시장들 사이의 선도-지연이나 동조화 현상에 관하여는 보다 단기적인 분석방법을 이용하여 살펴볼 필요가 있겠다.

또한 이러한 표준적인 공적분 검정은 두 시장 변수들 사이의 균형관계가 일시적 이탈로부터 얼마나 빠른 속도로 수렴하는지에 대하여는 구체적인 정보를 얻기가 힘이 든다. 따라서 본 연구에서는 균형오차에 대한 차분계수를 추정함에 있어 I(0)/I(1)의 이분법적인 제약을 가하지 않는 분수차분계수를 추정하고자 한다.

4. 균형오차에 대한 차분계수 추정

두 시계열 변수들에 대한 Johansen 공적분 검증결과 현물과 선물 사이에 공적분 벡터가 적어도 한개 이상 존재한다는 결과를 보여주었다. 이는 이 두 시계열 변수들 사이에 장기적 균형관계가 존재함을 의미한다고 볼 수 있다. 이러한 장기적 균형관계에서 각 변수들 사이의 균형오차가 일시적인 충격 혹인 이탈로부터 얼마나 빠른 속도로 수렴하는지에 대하여 좀 더 구체적으로 살펴보기 위하여 균형오차에 대한 차분계수를 추정해보고자 한다. 즉 표준적인 공적분 검증결과는 균형오차가 I(0)과정임을 의미하지만 이것은 매우 제약된 결과이다. 따라서 본 연구에서는 균형오차의 장기기억특성을 고려하기 위해 오차항의 차분계수를 GPH방식으로 추정하여 보았다.

먼저 차분계수 의 추정치를 도출하기 위해서는 평활화된 피어리드그램값에 사용되는 bandwidth parameter인 의 값을 결정해야 한다. 이 의 증감은 분산과 편의간에 상충관계를 가진다. 즉, 이 커질수록 추정량의 분산은 작아지지만 편의의 가능성은 커지게 된다. 적절한 의 값을 설정하기 위해 Hurvich and Deo(1999)와 Andrews and Guggenberger(2003)의 경우 자료의 특성에 따른 선정방법을 제시하고 있다. 하지만 본 연구에서는 Bandi and Perron(2006)의 연구에서 사용한 것과 같이 [eqn: sqrt {n}]에서 [eqn: n ^{0.8}]사이의  값에 대해 추정을 하였다.

Wei(2006)

(표 6) 단변량 GPH 추정량과 이변량 제약 GPH 추청치

	단변량 GPH 추정치		이변량 제약 GPH 추정치
	현물	선물
39	1.3364 (11.1926)	1.3266 (11.1106)	1.0744 (12.7299)
83	1.2077 (15.6537)	1.1873 (15.3894)	1.0622 (19.4542)
173	1.0535 (20.3662)	1.0543 (20.3813)	1.0057 (27.4033)
362	1.0281 (28.943)	1.0155 (28.5862)	0.9903 (39.4542)

주) ()안의 값은 t-통계량, 는 1% 유의수준

위 (표 6)를 보면  수준자료에서 현물과 선물 모두 차분계수 값 가 모든 값에 대하여 1보다 큰 값을 가지는 것으로 파악되어 두 시계열 모두 수준에서는 장기기억 속성이 없는 것으로 볼 수 있다. 그리고 분수 공적분 여부를 파악하기 위한 전제 조건인 두 변수간의 적분차수가 동일한가에 대한 이변량 제약 GPH 추정에서도 =362에서는 두 변수에서 불안정한 장기기억 특성이 나타남을 볼 수 있지만 나머지 값에서는 장기기억 속성을 가진다고 보기 힘들다. 그러나 이변량 제약 GPH 추정량이 모든 값에서 통계적으로 유의함에 따라 두 변수간에는 공적분이 성립한다고 볼 수 있겠다. 따라서 현물시장과 선물시장간의 분수 공적분 여부를 살펴보고자 한다. 이를 위하여 추정된 회귀식은  아래와 같다.

(18)

여기서  는 선물의 종가, 는 현물의 종가이다.

위의 식으로부터 오차항을 추출하여 분수차분을 실시한 결과는 아래와 같다.

(표 7) 오차항의 차분계수

	39	83	173	362
균형오차항의 차분계수	0.1873 (1.5686)	0.3878 (5.0269)	0.5697 (11.0133)	0.4667 (13.1388)

주) ()안의 값은 t-통계량, 는 1% 유의수준

위에 나타난 결과를 보면 오차항의 차분 계수값이  =173값을 제외한 모든 값에서 -1/2<<1/2임을 알 수 있다. 이는 두 변수에 대한 오차항이 분수 적분 되어 있으며 이는 오차항이 장기기억 속성을 가짐을 알 수 있다. 오차항이 분수 적분되었음을 의미하는 바는 그것의 자기상관 계수값이 쌍곡선율로 매우 느리게 감소함을 시사한다. 이러한 결과는 표준적인 공적분 검정결과와는 달리 오차항이 궁극적으로 평균회귀성향을 보임을 의미하며, 이는 두 변수가 분수 공적분 관계를 가지고 있음을 함의한다. 즉 이는 두 변수 대하여 외부의 충격이 가해져서 균형관계로부터 이탈이 발생 할 경우 이들 사이의 균형관계로의 회복은 매우 느리게 진행됨을 의미한다. 즉 두 변수 간에는 장기적인 균형관계를 가지고는 있지만 균형으로의 수렴속도는 상당히 느리다고 할 수 있다.

만약 현물시장과 선물시장이 완전 효율적이라면, 선물가격은 그것을 구성하고 있는 구성자산의 현물가격과 같이 움직여야 하며, 현물과 선물 시장은 새로운 정보가 시장에 공시 될 경우 동시에 현물 및 선물가격에 반영시켜야 한다. 즉, 현물시장과 선물시장이 완전 효율적이라면 수익률과 변동성의 경우 두 시장간의 선도-지연관계는 존재하지 않아야 한다. 이와 같이 효율적 시장가설의 입장에서 본다면 현물과 선물시장의 선형결합인 오차항이 장기기억을 가진다는 것은 기존의 선행연구들이 두 시장사이의 선도-지연관계의 존재와 더불어 그것이 의미있는 차익거래의 기회를 제공함으로써 두 시장 사이에는 정보 이전의 효율성이 존재한다는 것을 기각하는 것과 같은 의미로 해석 할 수 가 있을 것이다.

또한 선물시장과 현물시장이 효율적이라면 두 시장간의 관계는 식 (1)과 같으며, 그들은 공적되어 있을 것이다. 이러한 보유비용 모델을 이용한 두 시장간의 공적분의 존재여부에 대하여 Bessler and Covey(1991)는 US cattle 시장에서, Fortenbery and Zapata (1993)는 콩과 밀을 대상으로 한 시장에서, Zapata and Fortenbery(1996)는 거의 모든 저장 가능한 상품시장에서 선물시장과 현물시장에서 공적분 관계가 존재함을 발견하였다. 이는 두 시장 사이의 장기적인 균형관계가 존재함을 의미하는 것으로 본 연구에서 KOSPI200의 현물시장과 선물시장 사이에서 정수 공적분 및 분수 공적분 관계가 존재함을 발견한 것과 그 의미가 다르지 않음을 알 수 있다. 그러나 반대로 Schroeder and Goodwin(1991)은 생돈 시장에서 선물가격과 현물가격사이에 공적분이 존재함을 발견하는데 실패하였다. 따라서 보유비용모형과 그에서 파생되어 나온 다른 모형들은 현물과 선물은 공적분 관계에 있고 그들의 장기적인 관계는 베이시스에 의해 정의되는 장기적인 균형관계에 의해 설명된다고 볼 수 있다. 즉 베이시스의 평균회귀(mean reversion)와 오차수정모형의 존재가 선물과 현물사이의 동적인 관계를 설명해 준다는 의미이다. 이는 베이시스의 시계열적 특성을 명백히 밝혀내려는 시도의 일환으로 Miller, Muthuswamy, Whaly(1994)는 S&P500 베이시스의 변화가 평균 회귀함을 보여준 연구 결과와 같은 맥락에서 이해 할 수 있다 . 다만 본 연구는 베이시스가 평균회귀의 특성을 가지기는 하나 그 회귀하는 속도에 있어서 지수율로 매우 빠르게 진행되는 것이 아니라 쌍곡선율로 매우 느리게 진행 되고 있음을 보여 주고 있다.

이들은 베이시스의 평균회귀는 현물거래의 불빈번 거래로 설명되어지고 있음을 입증하였다.

IV. 결론

우리나라의 주가지수에 대한 파생상품시장은 1997년 7월 주가지수 선물시장의 개장을 시작으로 양적, 질적으로 비약적인 발전을 거듭해 오고 있다. 이에 따라 주가지수 현물시장과의 상호관계에 대한 관심이 증대되어 오고 있으며, 그에 대한 연구들이 활발히 진행되고 있는 가운데 본 연구는 KOSPI200 시장과 KOSPI200 선물 시장의 가격 시계열들 사이의 장기적 균형관계를 분수 공적분 검정을 통하여 살펴보았다. 또한 장기균형관계가 존재 할 때 이들의 균형오차항의 적분계수(d) 값에 따라서 이 두 시장 사이의  오차항이 안정적인 장기기억을 가지는 지, 아니면 불안정한 장기기억을 가지는가도 살펴 보았다. 기존의 연구들과 같은 맥락에서, 정수 차원에서의 공적분 검증을 실시한 결과 적어도 한 개 이상의 공적분 벡터가 존재함을 확인 할 수 있었다. 또한 두 시장간의 장기균형관계에 대한 보다 폭넓은 정보를 제공할 수 있는 분수 공적분의 존재 여부도 살펴 보았다. 두 시계열 사이에 공적분 관계가 성립하기 위하여는 두 변수 사이의 차분계수가 동일하여야 하므로 그에 대하여 이변량 제약 GPH 추정을 한 결과 모든 bandwidth 모수 m에서 유의한 차분계수를 가짐으로써 현물과 선물 종가 시계열은 공적분되어 있음을 확인하였다. 그리고 공적분 회귀식에서의 오차항을 추출하여 그에 대한 GPH추정을 실시한 결과 bandwidth 모수 m값이 173을 제외한 모든 m값에서 추정된 차분계수가 -1/2<<1/2값을 가짐을 확인하였다. 따라서 본 연구의 실증분석결과를 요약하면 아래와 같다. 첫째, KOSPI200과 KOSPI200 선물 가격 사이에는 분수 공적분 관계가 성립함을 알 수 있다. 이는 두 시장 간에는 장기적인 균형관계가 성립한다고 할 수 있으며, 오차항이 평균회귀(mean reverting)하는 성향을 가지고 있음을 알 수 있다. 또한 불안정한 두 가격 시계열들의 장기균형관계를 살펴보는데 있어서 이들의 선형결합이 안정적인 시계열을 생성하므로 원시계열들의 차분으로 인한 유의미한 정보의 손실을 막을 수 있음을 의미한다. 둘째, 오차항의 적분계수(d)가 0<<1/2값을 가짐에 따라 이들의 선형결합은 안정적인 장기기억 과정을 따르고 있음을 알 수 있다. 이는 현물시장과 선물시장의 가격 사이의 균형관계에 대한 충격의 영향이 쌍곡선율로 매우 느리게 감소하는 특성을 표현 할 수 있게 함을 의미한다. 즉, 분수 공적분에서의 오차가 분수 차분된 장기기억과정을 따르고 있음을 의미하는데, 이는 충격으로 인한 영향이 단기에 사라지지 않고 균형가격으로의 회귀가 매우 느리게 나타남을 의미하는 것이다. 따라서 동일한 기초자산을 이용하여 위험을 헤지하거나 시장간 차익거래를 통하여 초과이윤을 얻고자 하는 시장 참여자들에게 있어 그들의 투자전략이 어떻게 변화하여야 되는지에 대한 정보를 함의하고 있다고 할 수 있다.

KOSPI200 주가지수와 KOSPI200 선물가격 시계열이 분수 공적분 되어 있다는 것은 두 시장사이에 장기적인 균형관계가 존재함을 의미하며, 이것은 두 시장 사이에 일정한 관계가 성립한다는 것이다. 또한 두 가격 시계열의 선형결합(오차항)이 장기기억을 따른다는 것은 오차항에 충격이 가해졌을 때 균형으로의 회귀가 매우 느리게 진행됨을 의미하는 것이다. 이것은 선물가격이 현물가격에 기초하여 형성되기 때문에 두 시장 간에는 일정한 관계가 성립하여야 하나 그 균형관계에 일시적인 충격이 발생 하였을 때 균형으로의 회귀속도가 매우 느리게 진행됨을 의미하므로 두 시장 간에는 매우 유의미한 차익거래 기회가 발생한다고 볼 수 있으며, 이는 시장의 정보가 즉각적으로 가격에 반영된다는 효율적 시장가설을 지지하지 못함을 시사한다고 할 수 있다.

본 연구는 KOSPI200 주가지수의 종가와 선물의 최근월물에 대한 일별자료만을 가지고 서로간의 분수 공적분 여부를 살펴보았는데 향후에는 KOSPI200 선물의 잔존만기별로 현물과의 분수 공적분 여부를 살펴보는 것도 만기에 따른 투자자들의 투자행태에 많은 변화를 줄 것이라 예상이 된다.

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A long term equilibrium relation between

KOSPI 200 spot and futures

This paper compares long term equilibrium relation of KOSPI 200 which is underling stock and its futures by using general method fractional cointegration instead of existing integer cointegration.  Existence of integer cointegration between two price time series gives much wider information about long term equilibrium relation. These details grasp long term equilibrium relation of two price time series as well as reverting velocity to equilibrium by observing difference coefficient of error term when it renounces from equilibrium relation.  The result of this study reveals existence of long term equilibrium relation between KOSPI200 and futures which follow fractional cointegration. Difference coefficient, d, of 'two price time series error term' satisfies 0<d<1/2 beside bandwidth parameter, m(173).  It means two price time series follow stationary long memory process. This also means impulse effects to balance price of two price time series decrease gently within hyperbolic rate decay.  It indicates reverting speed of error term is very low when it bolts from equilibrium. It implies to market maker, who is willing to make excess return with arbitrage trading and hedging risk using underling stock, how invest strategy should be changed. It also insinuates that information transition between KOSPI 200 Index market and futures market does not working efficiently.

key word :  KOSPI 200, long term equilibrium, fractional cointegration,  long memory