노이지 트레이더가 존재할 경우 기업실적 보고 왜곡과 주가버블의 발생 가능성

한재준

	<요 약>
이 글은 합리적인 투자자들이 거래하는 주식시장에서 실적보고치 과장과 주가 이탈 현상이 발생할 수 있는 지를 분석한다. 본 고는 기업 CEO의 유인구조가 실적보고치 왜곡을 초래하는 상황에서 노이지 트레이더의 존재는 체계적(systematic)인 주가의 이탈(bias)을 유발할 수 있음을 보인다. 즉 투자자의 합리성 가정하에서도 효율적 시장가설(EMH)이 작동하지 않는 상황이 발생한다. 정책관련 시사점으로는 회계 관련 감독제도가 잘 정비되어 있거나, CEO의 사적 유인구조를 사전에 알고 있는 정보우위 투자자 비중이 커질수록 주가의 이탈이 줄어들고 있음을 보였다. 나아가 비교정태분석을 통하여 노이지 트레이더의 증대, 정보우위 투자자의 비중 증가는 CEO의 실적보고치 왜곡에 유의미한 영향을 미치고 있음도 밝히고 있다. 핵심주제어 : 내재적 가치, 실적치 왜곡, 주가 이탈 JEL 분류기준 : G10, G14, G30

Ⅰ. 머리말

효율적시장 가설(EMH)에 따르면 시장에서 형성되는 주가는 그 당시 이용가능한 모든 정보를 반영하여 형성된다고 한다. 따라서 효율적시장 가설이 성립할 경우에는 어떠한 투자자도 다른 투자자보다 초과수익을 달성할 수 없게 된다. 그리고 동 가설은 주식시장에서 지금까지  가장 설득력있는 이론으로 받아들여져 왔다.

(1)약형 EMH:정보집합으로 과거 주가나 거래량 등 시장 거래자료를 의미,

(2)준강형 EMH:정보집합으로 과거 주가관련 정보뿐만 아니라 기업의 전망과 관련된 모든 공적 자료를 의미,

(3)강형 EMH:정보집합이 내부정보를 포함한 모든 정보를 의미, 즉 주가에는 이미 공적 정보는 물론 모든 사적 정보까지도 다 포함되어 있기 때문에 어떤 경우에도 시장수익률 이상의 초과수익률을 낼 수 없다는 가설

이러한 효율적시장 가설은 아래의 세 가지 가정에 근거하고 있다. 첫째는 투자자들이 합리적이라는 가정이다. 즉 투자자들은 자신들이 보유한 정보와 가격변수(주가)로부터 예측할 수 있는 정보를 바탕으로 투자대상 기업의 내재적 가치를 추론하고 이에 근거하여 매도․매수주문을 내린다는 것이다. 둘째는 이러하지 않은 투자자들, 즉 비합리적인 투자자들이 존재하더라도 이들의 거래량은 랜덤하게 상호 소멸되어 주가에 미치는 영향은 체계적(systematic)이지 못하다라는 가정이다. 셋째는 주가의 일시적 이탈이 발생할 경우에는 재정거래자가 나타나서 차익을 실현할 것이며 이 과정에서 주가는 다시금 기업의 내재적 가치를 반영하는 가격으로 회복된다는 가정이다.

최근 들어 효율적 시장가설은 도전에 직면하고 있다. Enron사태와 같은 기업 경영진의 회계조작이 왕왕 발생하고 있으며, 이러한 기업들의 주가 폭락 등이 종종 목격되고 있기 때문이다. 즉 시장에서 주가가 기업의 내재적 가치에서 체계적(systematic) 이탈하는 현상이 벌어지고 있다. Schleifer(2000)와 같은 행태재무론자(behavior finance)는 효율적시장론자들의 세가지 가정 중 첫째와 둘째 가정에 의문을 제기한다. 한편, 본 고는 투자자들의 합리성과 비합리적인 투자자들의 거래량의 랜덤성이란 두 가지 가정을 수용하면서도 다른 시장참가자들의 이기적인 행위를 추가함으로써 체계적인 주가 이탈이 발생할 수 있음을 보이고자 한다.

본 고는 Stein(1990)과는 다르다. Stein의 모형은 시그널링(시그널 재밍) 프래임을 바탕으로 한다. 즉 사적으로 기업의 내재적 가치를 목격한 CEO는 실적치를 시장에 공표(signal)한다. 한편, 이러한 기업 CEO 가운데에는 주가를 내재적 가치로부터 이탈시키려는 경영자도 있다. 그리고 이러한 경영진은 실적치 공표시 과장․과소(jamming)된 보고서를 작성한다. 이때 Stein은 주식시장의 모든 거래자들이 이러한 왜곡을 간파할 수 있다고 가정한다. 이 결과 CEO의 왜곡된 보고서에도 불구하고 내재적 가치로부터 주가의 이탈은 발생하지 않는다. 그러나 본 고는 참가자들의 실적치 왜곡 간파 능력에 대한 가정을 달리한다. 일부 거래자는 CEO의 왜곡 유인을 정확히 알고 있으나, 다른 거래자들은 실적치에 포함된 왜곡된 량을 알지 못한다라고 가정하는 것이 바로 그것이다.

본 고에서 투자자는 아래의 세가지 유형이 존재한다. 그리고 시장에서 주가는 이들의 거래량의 합인 총거래량에 따라 형성된다고 가정한다. 첫 번째는 유형 1로 명명되는 투자자로 기업 CEO의 왜곡 유인을 사전에 알고 있는 거래자들이다. 이들은 공표된 실적치에서 왜곡된 부분을 가감함으로써 실제 CEO가 목격한 당기 실적을 파악할 수 있다. 두번째는 공표된 실적치에 왜곡이 있음을 짐작하고 있으나 그 크기는 알지 못하는 투자자들이다. 이들은 유형 2 투자자로 정의된다. 세 번째 유형은 랜덤하게 해당기업에 대한 주식구매여부와 구매량을 결정하는 투자자로 유형 3이라고 명명한다.

실제, 주식시장의 투자자 중에는 특정 종목에 투자를 결정하면서도, 당해 주식을 발행하는 기업의 실적에 근거하여 투자여부나 그 규모를 결정하기 보다는 종합주가지수의 추세에 근거하거나 주위 사람의 의견에 따라 투자를 결정하는 경우가 있다. 이 경우 이들의 투자 결정은 당해 기업의 실적보고와 통계적인 상관성을 보이지 않을 수도 있다. 그러고 이러한 투자자들의 투자결정에 따라 결정된 투자량의 합은 통계적으로 0이라고 가정할 경우 유형 3의 투자자의 존재는 논리적 근거를 지니게 될 것이다.

세 부류의 투자자 중에 유형 1과 유형 2의 투자자는 합리적 투자자들이다. 유형 1 투자자의 매도․매수 주문은 자신들의 우월적 정보를 바탕으로 추론한 기업 실적치에 근거하여 결정된다. 한편 이들의 매도․매수 주문의 합인 거래량은 시장에 이들이 보유한 우월적 정보를 간접적으로 유출시킨다. 이것은 다름아닌 효율적시장 가설이 의미하는 바이다. 따라서 정보열위자이지만 합리적인 유형 2 투자자는 그들의 매도․매수주문 결정할 때 공표된 실적치뿐만 아니라 유형1 투자자의 거래량이 초래하는 주가의 변동도 고려하여 거래 여부(량)을 결정한다. 실제 두 투자자들 간의 차이는 보유한 정보집합의 정교성 여부에서 발생한다.

이러한 투자자 분류는 Grossman & Stigitz(1980)를 차용한 것이다.  Grossman & Stigitz(1980)에서 유형 3 투자자 존재는 가격기능의 마찰(noise)을 일으키는 요인이 되고 있다. 그리고 이들의 모형에서 노이지 효과는 평균적으로 소멸(cancel out)되는 것으로 나타났다. 반면에 본 고는 의도적으로 가격정보를 왜곡시키려는 경기자(player)가 추가하였는 데 이 경우 유형 3 투자자의 역할은 평균적으로 사라지고 마는 노이즈에 그치지 않게 된다. 이 점에서 Grossman & Stigitz과 차별된다.

차이가 발생하는 근본 원인은 다음의 두 가지에 기인한다. 첫 번째는 유형 3의 존재가 유형 2가 유형 1의 투자결정으로부터 알 수 있는 정보취득에 방해가 된다는 사실이다. 두 번째는 왜곡된 실적보고서 내용과 유형 3 투자자의 투자결정이 혼재되어 가격변수에 전달됨에 따라 유형 2의 투자자가 애초부터 가격변수(주가)의 신뢰성을 일정비율로 디스카운트하게 된다는 점이다.

결국 본 고는 기업 CEO의 왜곡된 실적보고를 체계적인 주가 이탈(bias)의 주요 원인으로 지목한다. 한편 주가 이탈이 CEO의 실적보고치 왜곡 유인이 줄어드는 경우에 오히려 강화될 수 있음도 밝혔다. 이처럼 아이로니한 현상은 기업 CEO의 실적치 왜곡 유인과 유형 1 투자자 비중 간의 상호작용에 기인한다. 그리고 이러한 상호작용을 이해하기 위해서는 기업 CEO를 비롯한 투자자들의 유인구조와 이들 간의 반응 분석이 필요하다.

먼저 기업 CEO와 유형 1 투자자간의 관계를 분석하여 보자. 주식(스탁옵션, 기업 buyout) 등으로 성과를 보상받는 CEO는 실적보고서를 과장․과소할 유인이 있다. 반면에 CEO의 왜곡유인을 간파하고 있는 유형 1 투자자들은 Stein(1990)과 같이 왜곡된 실적치를 정확히 가감한 뒤에 거래 유무(량)을 결정할 것이다. 극단적으로 모든 투자자가 유형 1이라고 가정해보자. 그리고 유인구조가 상방으로 왜곡(스톡옵션부여로)된 CEO라면 실적보고서를 과장하려 들 것이다. 그러나 시장의 거래자들이 모두 유형 1 투자자뿐이라면 주가는 왜곡여부와 상관없이 내재적 가치 수준에서 형성될 것이다. 한편, 기업 CEO는 자신의 왜곡치가 시장에서 가감될 것을 알면서도 계속해서 왜곡한다. 그 이유는 자신이 관측한 실적대로 보고서를 작성․공표하더라도 시장참가자들은 그가 왜곡유인을 가진 CEO라고 믿고 있기 때문에 공표치로부터 일정부분을 차감하려 들기 때문이다. 이러한 딜레마를 Stein은 rat race라고 묘사하고 있다. 한편 이러한 현상은 왜곡 유인을 가진 CEO라고 믿는 투자자들의 신념이 강해질수록 강화될 것이다. 즉 유형 1의 투자자가 많아질수록 CEO는 이들이 기대하는 만큼의 왜곡치를 실적치 발표시 추가하여야 할 것이다.

즉 시장에서 CEO의 왜곡을 이미 예상하고 있는 한 자신의 경영실적이 시장에서 평가절하되고 싶지 않은 CEO는 왜곡할 수밖에 없는 궁지에 빠진다는 것이다.

두번째는 유형 2 투자자들이 증가할 경우에 CEO와 시장의 반응 분석이다. 유형 2의 투자자는 기업 CEO가 실적치를 왜곡할 경우 투자손의 개연성이 높은 거래자들이다. 따라서 유형 2 투자자 비중이 높아질수록 일견 CEO의 실적치 왜곡유인도 커질 것처럼 보인다. 왜냐하면 유형 2의 투자자 비중이 높을수록 주가의 이탈이 쉽게 발생할 것이며 이 경우 정보우위인 참가자(CEO포함)들의 초과이득 기회가 증가할 것이기 때문이다.  다른 한편으로는 유형 2의 투자자는 CEO의 왜곡유인은 관측하지 못하지만 그 개연성을 항상 염두하는 거래자들이다. 이러한 의구심은 이들의 거래량 결정을 보수적으로(신중하게) 만든다. 그 결과 이들의 거래량 결정은 유형 1 투자자보다 실적보고치에 둔감하게 반응한다. 한편, CEO 입장에서는 실적치 왜곡비용은 체증적으로 증가하는 데 반하여 유형 2가 실적치 왜곡에 둔감하게 반응할 경우 왜곡에 따르는 순편익은 줄어들게 된다. 그리고 유형 2 투자자 비중이 높아질수록 보수적인 반응은 시장에서 강화될 것이다. 이 효과가 초과이윤 발생 가능성을 능가할 경우 유형 2 투자자가 증가할수록 CEO의 보고서 왜곡은 줄어들 것이다.

반면에 주가의 이탈은 더 자주 발생한다. 이는 유형 2 투자자가 유형 1보다 주가가 내재적 가치로부터 이탈하는 데 대한 방지능력이 떨어지기 때문이다. 위의 논리를 종합하면 유형 2 투자자 비중 증가시 공표된 실적치에 포함된 왜곡은 줄어들고 있으나 주가 이탈은 늘어나고 있어 양자 간에는 음의 상관관계를 보임을 알 수 있다.

3장 후반부에서 유형 1과 유형 2 투자자 간의 수익을 비교한 결과 유형 1 투자자의 기대수익이 높은 것으로 나타났다. 먼저 실적치 왜곡이 있는 경우를 살펴보면 실적치 공표에 개입된 왜곡량을 알고 있는 유형 1 투자자가 유형 2 투자자보다 내재적 가치를 더 잘 파악하기 때문이다. 다음으로 실적치에 왜곡이 전혀 없더라도 왜곡이 없음을 알고있는 유형 1 투자자가 왜곡의 개연성을 궁극적으로 배제하지 못하는 유형 2 투자자보다 적극적으로 주문량을 결정할 것이다. 이 결과 유형 2 투자자는 동일한 실적치 공표에 대하여서도 취득가능한 투자수익의 범위가 축소된다.

지금까지는 유형 1과 유형 2 투자자 비율이 외생적이라고 가정하였다  한편, 유형 1은 추가정보를 보유한 거래자인데 이런 정보취득에는 비용이 수반될 것이다. 따라서 투자자가 합리적이고 자신의 유형을 선택할 수 있다면 정보취득 비용과 이 결과 유형 1이 되어 누릴 수 있는 초과기대수익을 비교하여 유형 1이 될지, 또는 유형 2로 남을 지를 결정할 것이다.  4장의 마지막 부분에서 이러한 내생화결정 과정에 대한 분석을 시도한다.

유형 1의 기대수익과 유형 2 기대수익간의 차이로 이 값은 항상 양수이다.

본고는 기업 CEO 실적보고서 왜곡유인을 마이크로 시각에서 분석한 첫 연구이다. 그리고 효율적시장 가설하에서도 주가의 체계적인 이탈이 나타날 수 있음을 보였다.

최근 새로운 금융기법들은 전대미문의 실적보고서 왜곡 도구를 기업 CEO 등에게 제공하고 있다. 이 결과 투자자들이 기업이 발표한 보고서만을 의지하여서 실제 내재적 기업가치를 파악하기가 더욱 힘들어지고 있다. 예를 들어 Jenny Wiggins(2004)가 지적한 것처럼 일부 신종 보험상품들은 기업 실적보고 왜곡의 수단이 되고 있다. 복잡한 구조의 금융상품 구매와 회계장부의 불투명성은 투자자이 기업거래에 숨겨진 흑막을 파악하고 실제 당기 실적을 파악하는 데 장애가 되고 있다. 실제 Drummond와 Jopson(2005)의 보고서에 따르면, 헤지펀드 매니저들은 국제회계보고기준(IFRS)의 제정․변경 등에 매우 민감하다고 한다. 동 국제회계보고기준에 관하여 가장 적극적인 의사를 표시하거나 집요하게 질의하는 집단은 기업의 재무담당자나 애널리스트가 아니라 헤지펀드라고 한다. 본 고는 헤지펀드 매니저들이 회계기준에 관심을 기울이는지와 정보우위의 투자자들이 유형 2와 유형 3의 투자자들보다 높은 투자수익을 올리는 근거를 제시한다.

본 고는 아래와 같이 구성되어 있다. 2장에서는 관련 문헌을 정리한다. 3장에서는 모형을 제시하고 4장에서는 외생변수들이 변경될 때 모형이 가지는 함의를 분석한다. 한편 4장의 마지막 절에서는 유형 1의 결정을 내생화한다. 그리고 5장에서는 본 연구를 정리한다.

Ⅱ. 기존 문헌

Famma(1970)는 효율적 시장에서 주가는 기업의 내재가치를 반영하고 있으며, 정보우위자가 보유한 정보도 이들의 거래량 결정과정에서 주가의 변동을 통해 반영되어 정보열위자도 동일한 정보를 수취할 수 있다고 주장한다. 한편, Grossman & Stiglitz(1980)는 이러한 합리적 기대균형(Rational Expectations Equilibirum)의 존재가능성에 대한 의구심을 제기한다. 이들은 시장에서의 가격이 다른 거래자들이 보유한 사적 정보를 내포하고 있다면, 어떠한 투자자가 비용을 지불하면서 우월한 정보를 취득하려는 유인이 있는지라고 반문하고 있다. 이에 대한 답변으로 노이지 트레이더가 시장에 존재하며 이들로 인한 가격의 마찰적 이탈 때문에 투자자중 일부는 비용을 지불하면서도 사적으로 정보를 취득하려는 유인이 발생한다는 결론을 도출하였다. 한편 Grossman & Stiglitz(1980)는 자산가격의 랜덤한 이탈은 인정하지만 체계적인(systematic) 이탈은 발생하지 않는다고 결론짓고 있다.

최근 각광을 받는 market microstructure 문헌들은 사적정보내지는 우월적 정보(insider information)가 주가에 반영되는 과정을 분석하고 있다(Kyle 1984; Admati 1985; and Easley et al 2002). 반면에 최근의 기업회계 분식문제에서 드러난 것은 실적치 왜곡과 같은 회계부정 행위가 주식시장에서 주가의 체계적인 이탈을 초래하는 중요한 원인중 하나가 되고 있다. 따라서 본고는 이러한 기업 CEO의 실적보고서 왜곡이 주가 이탈을 발생시키는 원인을 분석한다.

최근 들어 실적보고서 왜곡에 대한 연구도 광범위하게 이루어지고 있다. 특히 상당한 문헌들은 경영진의 왜곡 유인을 비판하기보다는 생산적으로 활용할수있는 방안을 제시하고 있다.  Aray et al(1988)은 실적보고서 왜곡을 억제하기 보다는 용인하는 것이 고용계약의 효율성을 증가시킬 수 있음을 보였다. Dutta & Gigler(2002)는 회계조작에 따른 실적치 왜곡의 정도를 줄이기 위하여 예상 당기 실적공표제를 제안하는 한편, 일정정도의 실적치 왜곡을 인정하는 것이 CEO로 하여금 예측치 오차를 최소화를 위해 허비하는 비용을 감소시킨다고 한다. 또한 Liang(2004)은 전략적인 당기 실적조작은 경영진의 도덕적 해이를 줄임으로써 사회적 후생을 높일 수 있다고 한다.

한편, Stein(1990)은 실적치 공표 왜곡이 발생하는 유인구조를 모형화하였다. Stein은 자신의 모형에서 Fama(1980)처럼 완전한 시장효율성을 가정한다. 이 결과 시장의 거래자들은 경영진의 실적치 공표의 왜곡부분을 정확히 파악하고 가감하기 때문에 실적치 왜곡은 있으나 주가의 체계적인 이탈은 발생하지 않는다.  Fisher& Verrechia(2000)은 시장의 참가자들이 경영진의 왜곡유인을 정확히 알고 있다는 Stein의 가정을 완화하였다. 이 결과 이들은 경영진의 왜곡 유인을 정확히 알고 있지 않은 시장 참가자들이라도 공표된 실적치로부터 경영진의 왜곡유인을 감안한 뒤에 나름대로 실제 실적치를 추산하고 있음을 밝힌다. Geng, Lin & Whinston(2003)은 기업 경영진들이 사적 정보를 왜곡하여 공표하고 이러한 사실이 시장에 누설되기 전에 자신들은 보유했던 동 기업의 주식을 높은 가격에 매도함으로써 초과이득을 취할 수 있음을 모형화하였다.

이상에서 언급된 기존문헌들은 거시적 측면에서 경영진의 실적치 왜곡에 대한 시장의 반응을 분석하였다. 반면에 본 고는 미시적으로 시장참가자들을 세분하고 경영진의 실적치 왜곡에 대한 각 투자자들의 반응을 분석함으로써 회계보고서 부정과 이로 인한 주가의 이탈 현상을 분석한다.

Ⅲ. 모형

이 장에서는 위험중립적인 기업 CEO와 세 유형의 투자자 간의 2기 게임모형을 제시한다. 첫 번째 기에 기업 CEO는 자신의 사적으로 관측한 당기 기업실적과 유인구조에 따라 실적보고서를 작성하여 시장에 발표를 한다. 그리고 투자자들은 동 발표 등을 근거로  매수․매도할 주식의 양을 결정한다. 두 번째 기에는 기업의 내재적 가치(참된 실적)이 밝혀지고 투자자들의 수익은 1기에 매수․매도한 주가와 2기에 형성되는 주가의 차이에 따라 실현된다.

1. 기업 CEO의 실적보고 결정

Fisher와 Verecchia(2000)의 모형에 근거하여 기업의 내재적 가치는 [eqn: v]로 실현되나 참가자들은 사전적으로 알 수 없다고 한다. 그리고 이러한 기업의 내재적 가치와 2기에 실현된 주가는 선형의 관계를 갖는다고 가정한다. 나아가 분석의 편의상 기업의 내재적 가치와 주가는 1:1의 관계를 지닌다고 하자. 다만 기업 CEO와 투자들은 기업의 내재적 가치의 사전적 확률분포는 [eqn: v SIM N(0, sigma _{v} ^{2} )]라고 알고 있다. 한편, 기업 CEO는 첫 번째기에 실현된 회사의 당기 수익([eqn: e])을 사적으로 관찰한다. 이 값은 [eqn: e` SIM v+n]와 같이 형성되고, 이때 [eqn: n]은  기업 CEO가 [eqn: v]와 분리해낼 수 없는 독립적인 오차항이다. 그리고 [eqn: n SIM N(0, sigma _{n} ^{2} )]의 분포를 따르며, [eqn: n]과 [eqn: `v]는 서로 독립적이다.

기업 CEO는 당기 수익([eqn: e])를 사적으로 관측한 다음에 당기 실적을 [eqn: r]이라고 시장에 공표한다. 이때 기업 CEO는 실적치를 실제 관측한 값과 다르게 [eqn: b]를 추가하여 발표할 수 있다.(i.e. [eqn: r=e+b]) 즉 시그널 재밍이 가능하다. 단  [eqn: b]를 추가하는 데는 비용 [eqn: c(b)]를 지불하여야 한다. 이때 비용함수는 체증적으로 증가하는 [eqn: c(b)=c {b ^{2}} over {2}]로 가정한다. 이는 실적치 왜곡에 필요한 노력, 적발될 경우 발생할 법적 책임 그리고 자신의 평판손실 등을 반영하는 항이다. 한계비용계수 [eqn: c]는 모든 참가자에 알려진 common knowledge로 가정한다. 이제 기업 CEO의 payoff함수는 아래와 같이 정의될 수 있다.

[eqn: yp- {cb ^{2}} over {2}]

[eqn: p]는 당해 기업의 시장에서 거래되는 주식가격이며, [eqn: y]는 주가의 이탈에 따라 발생하는 기업 CEO에게 발생하는 한계초과보수를 의미한다. 이러한 한계초과보수 [eqn: y]는 시장의 투자자들에게는 [eqn: N(0, sigma _{y} ^{2} )]상의 확률변수이다. 반면에 기업 CEO는 실현된 [eqn: y]의 값을 사적정보로 알고 있다. [eqn: y] 값이 큰 CEO일수록 주가의 상향이탈 유인은 커지게 된다. 한편 CEO 이외 일부 투자자들도 [eqn: y]의 값을 관측할 수 있다고 가정한다. 이러한 투자자들을 유형 1 투자자로 정의하였다. 한편 이들 이외의 투자자들에게 [eqn: y] 값---기업 CEO의 왜곡유인---은 평균적으로는 0인 확률변수이다.

이는 [eqn: p]와 [eqn: y]가 수학적으로 complementary하게 가정되어 있기 때문이다. 즉  [eqn: y]의 실현치가 양인 경영진은 [eqn: p]가 증대하는 것이 유리하다. 현실에서 경영진의 보수가 당해 기업의 주식(스탁옵션)으로 주어지는 경우가 이에 해당되며 스탁옵션의 크기가 커질 수록 [eqn: y]의 값도 큰 것으로 이해할 수 있다. 반대로 [eqn: y]값이 음인 경우는 경영하는 회사의 buyout을 염두해 둔 경영진을 떠올릴 수 있을 것이다. 이러한 경영진은 실적을 악화시켜 보고하여 주가를 떨어뜨린 다음에, 자신이 그 기업의 주식을 매집하여 경영권을 확보하려는 유인이 있을 수 있다.

균형에서 위험중립적인 기업 CEO는 자신의 기대 payoff를 극대화할 [eqn: b]값, 즉 추가할 왜곡치를 결정한다. 균형 [eqn: b ^{*}]는 아래의 식에서 도출된다.

[eqn: b ^{*}= argmax_b yE hat{p}- {cb^2} over{2}] (1)

[eqn: hat{p}]는 기업 CEO가 사전적으로 추론하는 주식가격의 기대치이다. 합리적기대론에 따르면 추론된 주가는 사후적으로 형성되는 균형에서의 주식가격([eqn: p^*])과 일치한다. 이 관계는 뒤에서 보이기로 한다.

2. 주식가격

주식시장 참가자는 세 분류로 나누어진다. 유형 1과 유형 2 투자자들은 자신들이 매도․매수주문을 결정하는 데 있어 기업의 내재적 가치, [eqn: v] 파악에 지대한 관심이 있다. 그리고 이들은 위험기피자라고 가정할 경우 유형 1과 유형 2 투자자의 payoff는 아래와 같다.

[eqn: V(W^i ) =e^{-aW^i}]

[eqn: a]는 절대위험기피의 정도를 나타내는 계수이다. 그리고 [eqn: W ^{i} ,i IN LEFT { 1,2 RIGHT }]는 각 유형의 투자자들의 최종 부(富)의 수준을 의미한다. 유형 1과 유형 2 투자자들 간의 차이는 기업 CEO의 왜곡유인 [eqn: y]를 관찰하였는지 여부이다. 즉 유형 1 투자자들은 [eqn: y]값을 알고 있으나, 유형 2 투자자들은 그러하지 못하다. 한편, 유형 3의 투자자들은 외부적 요인에 의하여 투자를 결정하는 노이지 트레이더(noisy trader)들이다. Grossman&Stiglitz(1980)에 따르면, 이들의 주문합계는 순전히 랜덤확률변수라고 한다. 즉 유형 3 투자자들의 주문합계인 [eqn: x]는 [eqn: N(0,sigma_x^2 )]이다. 참고로 본 고는 NREE(Noisy Rational Expectation Equilibrium, Grossman & Stiglitz(1980))의 개념을 사용하여 주가와 투자자들의 행태를 정의하고 있다.

유형 1의 투자자들은 [eqn: y]와 [eqn: r]을 자신의 정보집합에 보유한 투자자들이다. 따라서 이들과 기업 CEO 간의 정보의 비대칭성은 없다. 따라서 유형 1의 투자자들은 기업 CEO의 실적보고서 작성과정을 반추해 나가면서 왜곡유인([eqn: b])을  찾아내고 이를 가감함으로써 CEO가 관측한 당기 실적([eqn: e])을 파악해낸다. 그리고 이를 근거로 산출된 2기의 주가와 1기의 주가를 비교하여 매도․매수량을 결정할 것이다. 이러한 유형 1 투자자들의 거래량, [eqn: x^1]은 아래의 식으로 표현될 수 있다.

물론 기업 CEO는 [eqn: e]를 추가적으로 관측하고 있지만, 유형1의 투자자들은 이것을 추론해 낼 수 있기 때문에 정보의 비대칭성이 없다고 간주해도 될 것이다.

[eqn: x ^{1} (r,y,p)=argma _{x} E LEFT [ e ^{-a(v-p)x} |r,y RIGHT ] = {E[v|r,y]-p} over {aV[v|r,y]}]

[eqn: p]는 1기의 주식시장에서 형성되는 해당기업의 주가이다.

반면에 유형 2의 투자자들은 [eqn: y]의 분포를 알고는 있으나 [eqn: y]를 직접 관측하지는 못한다. 그러나 이들은 유형 1 투자자들이 시장에 있으며 균형에서 주가는 유형 1 투자자들의 주문량으로부터 유출된 대상기업의 당기 실적 정보를 반영하고 있다는 점을 인식하고 있다. 따라서 유형 2 투자자들은 주가로부터 파악 가능한 정보를 바탕으로 2기의 주가를 추론한 뒤에 자신의 거래량을 결정한다. 이때 유형 2의 투자자가 생각하는 기업의 최종가치는 산술적으로 [eqn: E[v|r,p]]로 표현되며, 이들의 거래량 [eqn: x^2]는 아래와 같이 표시될 수 있다.

[eqn: x ^{2} (r,p)=argma _{x} E LEFT [ e ^{-a(v-p)x} |r,y RIGHT ] = {E[v|r,p]-p} over {aV[v|r,p]}]

한편, 시장에서 유형 1 투자자와 유형 2 투자자들 간의 비중은 [eqn: w:1-w]로 표현된다고 가정하자. 이 경우 시장청산균형은 다음과 같이 표현된다.

[eqn: wx ^{1}(r,y,p)+(1-w) x^2 (r,p) =x]   (2)

균형주가는 청산균형식 (2)에서 유도되며 그 값은 [eqn: p^* (r,y,x)]로 표현된다. [eqn: w]는 모형의 마지막 절에서 내생화하기 전에는 외생적으로 주어진 것으로 가정한다.

3. 선형균형

앞 절의 모형에서 유도되는 균형 주식가격함수는 아래와 같은 선형함수로 도출된다고 가정하자.

[eqn: p^* (r,y,x) =beta x+alpha y- {x}over L]   (3)

이때, [eqn: beta, alpha, L]은 계수값으로 균형에서 도출될 상수값이다.

Lemma 3.1 위의 가격함수에서서 기업 CEO가 실적보고서에 추가하는 왜곡의 양은 [eqn: b^* = {beta} over c y]이다.

레마 3.1의 [eqn: beta]는 기업 CEO가 공표하는 실적치가 한계적으로 증가할 때 주가의 반응을 나타내는 계수이다. 이하에서는 [eqn: beta]를 시장의 반응도(market responsiveness)라고 정의한다.  [eqn: y]는 주가 상승으로 기업 CEO가  한계적으로 얻게되는 수익을 의미한다. 구체적으로는 스톡옵션 실행으로 발생하는 시세차익으로 이해할 수도 있다. 결국 [eqn: beta bullet y]는 실적치 왜곡에 따라 왜곡유인이 [eqn: y]인 CEO에게 발생하는 수익이다. 실적치에 추가되는 왜곡량 [eqn: b^*]는 이를 위해 CEO가 부담하는 비용과 이에 따라 발생하는 자신의 수익을 고려하여 결정될 것이다. 이 결과 도출된 균형 왜곡량이 lemma 3.1의 값이다.

유형 1 투자자들은 CEO가 기업의 당기 실적을 아래와 같은 방식으로 추론한다.

[eqn: e= r- {beta^*} over c y]

반면에 [eqn: y]값을 모르는 유형 2 투자자들은 위 식의 방식으로 [eqn: e]를 추론할 수 없다.따라서 식 (3)의 [eqn: p]는 유형 2 투자자들에는 실적치 [eqn: r]이 공표된 이후에도 확률변수 [eqn: y] 및 [eqn: x]값의 함수이다. 결국 유형 2 투자자들은 [eqn: r]과 [eqn: p]값이 관측된 이후에도 이 값들을 근거로 [eqn: y]에 대한 자신들의 분포를 bayesian방식으로 수정(update)하면서 당기 실적([eqn: e])을 추론하게 된다.

Proposition 3.1. 균형에서 도출되는 유일(unique)한 REE(Rational Expectations Equilibrium) 주식가격은 아래와 같이 존재하며, 이때 [eqn: beta^*], [eqn: alpha^*]와 [eqn: L^*]의 값은 아래와 같이 도출된다.

[eqn: p^* (r,y,x) =beta^* x+alpha^* y- {x}over L^*],

[eqn: beta ^{*} = { {w} over {sigma_n^{2}} + {1-w} over {sigma_n^{2}+X} } over {{1} over {sigma_v^{2}} +LEFT( {w} over {sigma_n^{2}} + {1-w} over {sigma_n^{2}+X} RIGHT)}],

[eqn: alpha ^{*} =- { {w} over {sigma_n^{2}} + {1-w} over {sigma_n^{2}+X} {sigma_y^2}over{v(phi)}} over {{w} over {sigma_n^{2}} + {1-w} over {sigma_n^{2}+X} } beta^2 over c],

[eqn: {1} over {L ^{*}} =- {{w} over {sigma _{n} ^{2}} + {1-w} over {sigma _{n} ^{2} +X} {sigma _{y} ^{2}} over {v( phi )}} over {{w} over {sigma _{n} ^{2}} + {1-w} over {sigma _{n} ^{2} +X}} {a beta sigma_x ^{2}} over {w}],

이때, [eqn: phi equiv {p-beta^* r} over alpha^*]이고, [eqn: X equiv ({beta^*} over {c})^2 { sigma_x^2 sigma_y^2 } over {sigma_y^2 +{sigma_x^2}over alpha^{*2} L^{*2} }]이다.

기업 CEO는 추론된 균형 주가식을 자신의 목적함수에 대입하고 이 식을 [eqn: b]에 대해 극대화함으로써 균형 왜곡치 [eqn: b^*]를 결정한다.  Proposition 3.1에서 나타난 [eqn: phi]는 식 (3)을 이용하면 다음과 같이 표현될 수 있다.

[eqn: phi equiv {p-beta^* r} over alpha^* =y - {x}over {alpha^* L^*}]

위 식이 의미하는 바는 유형 2의 투자자에게 주가 [eqn: p]는 CEO의 왜곡유인 [eqn: y]에 대해 혼재된 정보를 전달하는 시그널이다. 한편, 이러한 혼재된 시그널 [eqn: phi]는 유형 2의 투자자에게는 투자량을 결정에 앞서 [eqn: y]에 대한 기대치 수정(update)에 중요한 정보원이 된다. Proposition 3.1에서 나타난 [eqn: X]항을 변형하면 아래와 같다.

[eqn: X == ( {beta ^{*}} over {c} ) ^{2} V(y|phi)= V(b^* |phi)]

즉 유형 2의 투자자들은 그들이 가공한 정보원 [eqn: phi]를 바탕으로 기업 CEO의 최적 왜곡치 [eqn: b^*]를 추론하는데 있어서 위 식의 조건부 분산값만큼의 불확실성(uncertainty)을 지니게 된다. 반대로 유형 1은 이러한 불확실성이 존재 하지 않는다. 아래의 collorary들은 균형 주식가격의 몇 가지 함의를 말해주고 있다.

Collorary 3.1 [eqn: beta]([eqn: beta in [ under { beta}, bar {beta } ]])의 하한과 상한은 아래와 같다.

[eqn: under{beta} = {sigma_v^2}over {sigma_v^2 + sigma_n^2 + {under{beta}^2}over {c^2}sigma_y^2}]이고, [eqn: bar{beta} = {sigma _{v} ^{2}} over {sigma _{v} ^{2} + sigma _{n} ^{2}}]이다. 그리고 [eqn: 0<under{beta} leq beta^* leq bar{beta}<1]이다.

collorary 3.1는 실적치의 한계적 증분이 주가에 미치는 영향, [eqn: beta^* = {dp^*}over dr], 즉 시장 반응도의 상하한을 규명한다. 이때 하한 [eqn: under {beta}]는 유형 1의 투자자가 없는 경우에 시장반응도이다. 수학적으로 [eqn: w=0]인 경우이다. 반대로 유형 2 투자자가 없는 [eqn: w=1]인 경우의 시장반응도는 상한값인 [eqn: bar{beta}]로 표시된다. 그리고 양자 간에는 collorary 3.1의 대소관계가 성립한다. 흥미로운 점은 [eqn: bar{beta}<1]이라는 점이다. 즉 유형 2 투자자가 없더라도 실적보고치의 한계적 증분의 주가 상승 효과는 one-to-one에 미치지 못 한다.

Collorary 3.2 [eqn: alpha ^{*} IN [- {beta ^{*}} over {c} ,0]]이다.

Collorary 3.2은 아래의 관계를 유도한다.

[eqn: E[p ^{*}|e,y ]= beta^* (e+b^* ) +alpha^* y]

[eqn: =beta^* left[ e+ ( {beta^*} over {c} +{alpha^*} over {beta^*})y right]]    (4)

[eqn: = cases{> beta ^{*} e&``if``y>0 #< beta ^{*} e&``if``y<0&}]

위 collorary는 주가 [eqn: p^*]가 기업 CEO의 개인적 이해에 따라 체계적으로 영향을 받고 있음을 의미한다. 즉 기업 CEO의 유인구조가 주가를 상방향으로 왜곡하게 된 경우(i.e. [eqn: y>0])에는, 시장에서 형성되는 주가도 내재적인 기업의 가치보다 높은 수준에서 형성된다.

Collorary 3.3 [eqn: dx^1 over dr > dx^2 over dr]

collorary 3.3은 공표된 실적치 증분이 투자량결정에 미치는 한계적 영향은 유형 1 투자자에게서 크게 나타난다는 것이다. 그 이유는 유형1의 투자자가 같은 실적치 발표에서 추론할 수 있는 당기 실적에 관한 정보량이 크기 때문이다. 따라서 이들의 매도․매수 주문 결정량 반응은 유형 2 투자자보다 크다. 반면에 유형 2 투자자는 실적치에 왜곡이 있다는 사실은 짐작하고 있으나, 그 정도를 알수 없기 때문에 공표된 실적치에 대한 신뢰도를 낮게 평가하고 자신들의 투자량의  보수적으로 반응시킨다.

투자 결과 각 투자자들([eqn: i in left{1, 2right}])이 2기에 취하는 富는 아래와 같다.

[eqn: W^i = (v-p)x^i]

proposition 3.2는 위식에 의거할 경우 유형 1 투자자의 기대수익이 유형 2 투자자의 기대수익보다 항상 크다는 것을 수학적으로 나타낸다.

Proposition 3.2 [eqn: EW^1 > EW^2 >0`` for`` any``y]

주식시장에서 두 유형의 투자자는 주식을 구입할지 여부와 구입할 양을  결정한다. 그리고 이들이 합리적이라면, 주식 거래로 수익이 발생하지 않을 경우에는 언제든지 거래량을 0(i.e. [eqn: x^i =0])으로 할 수 있다. 이런 점을 고려하면 합리적 투자자들의 기대수익이 항상 양이라는 것을 알 수 있다. 이것은 proposition의 두 번째 부등호에 대한 직관적 설명이다. 첫 번째 부등호는 유형 1 투자자의 기대수익이 유형 2의 그것보다 항상 크다는 것을 말한다. 그 이유는 유형 1 투자자가의 정보집합이 더 크기 때문에 같은 실적치 공표로부터 입수 가능한 정보가 더 많고, 투자 결정이 보다 적극적으로 이루어지기 때문이다. 그러나 propostion 3.2에서처럼 유형 1 투자자의 기대수익이 상대적으로 크다는 것은 효율적 시장가설(EMH)의 주장과는 상치된다. 효율적 시장가설에 따르면 어떠한 투자자도 다른 상대편보다 항상 우월한 수익을 거둘 수 없기 때문이다.

흥미로운 것은 Proposition 3.2의 결과는 [eqn: y=0]인 경우, 즉 기업 CEO에게 실적보고서의 왜곡유인이 전혀 없는 경우에도 성립한다는 점이다. 이 경우에 왜곡된 실적치는 수학적으로 [eqn: b^* = {beta^*} over {c} y =0]로 표현된다. 따라서 [eqn: y=0]인 경우, [eqn: r]은 곧 [eqn: e]가 된다. 그럼에도 불구하고 유형 2 투자자는 [eqn: y=0]을 확신할 수 없어서 공표된 실적치 [eqn: r]를 디스카운트하는 방식으로 일정 비중만을 수용한다. 따라서 유형 1과 달리 공표된 실적치를 가공한 정보에 대한 신뢰도가 낮은 데 따라  상대적으로 적은량의 매도․매수 주문을 하게 된다. 이 것을 본 고에서는 소극적 투자행태라고 묘사하고 있으며, 이 또한 유형 2의 투자자의 수익률를 낮추는 요인이 되고 있다.

Ⅳ. 비교정태 분석

4장에서는 지금까지 외생변수로 처리하였던 유형1의 비중의 변화와 각 확률변수들의 분산의 증감(각 변수의 불확실성 증감) 등이 CEO의 실적치 공표 왜곡과 주가 이탈에 미치는 영향을 분석한다. 그리고 본 장의 마지막 절에서는 유형 1의 투자자가 되는 결정의 내생화를 시도한다.

1. 실적치 조작량

lemma 3.1은 기업 CEO의 최적화 결과 도출된 실적치의 왜곡량은 [eqn: b^* = {beta^*}over c y]이며, 이는 기업 CEO의 왜곡에 따른 한계적 수익과 왜곡을 위해 지불해야 하는 비용 간의 trade-off에서 결정되는 것임을 보인 바 있다. 이제부터는 주어진 것으로 가정했던 외생변수가 변함에 따라 실적치에 대한 주가의 한계적 변화즉 시장의 반응도([eqn: beta^*])가 변하는 추이를 살펴보고자 한다.

Lemma 4.1. 유형 1의 투자자가 늘어나거나, 실적보고서 왜곡의 한계적 비용이 늘어날 경우 시장의 반응도는 높아진다. (i.e. [eqn: partial beta^*} over {partial w}]>0, [eqn: partial beta^*} over {partial c}]>0 )

Lemma 3.3에서 밝힌 바와 같이 유형 1의 거래량은 공표된 보고치에 상대적으로 민감하게 반응한다. 유형 1의 투자자는 공표 실적치로부터 CEO의 왜곡이 추가된 부분을 정확히 가감한 뒤에 추산되는 당기 실적분을 바탕으로 거래량을 유형 2 투자자보다 과감하게 결정한다. 이 논리의 연장으로 이러한 유형 1의 비중이 시장내에서 커질 수록 시장전체적으로 기업의 실적보고치에 대한 한계적 반응도는 높아지게 되는 것이다. 한편, 실적치 왜곡의 한계비용이 증가할수록 동일한 왜곡유인하에서 기업 CEO의 왜곡량 증대 유인이 감소한다. 따라서 유형 2의 투자자라도 [eqn: c]가 큰 경우에는 공표된 실적치에 대한 신빙성을 높게 평가하고 매도․매수 주문량을 보다 적극적으로 제시할 것이다. 따라서 [eqn: partial beta^*} over {partial c}]>0라고 결론지을 수 있다.

Lemma 4.2 시장의 반응도는 아래의 경우에 높아진다.

⑴ 기업의 최종 가치에 대한 불확실성이 커질 경우(i.e.[eqn: {partial beta^* }over {partial sigma_v^2}>0]);

⑵ 당기 실적의 정보량이 커질 수록(i.e.[eqn: {partial beta^* }over {partial sigma_n^2}<0]);

⑶ 노이지 트레이더의 비중이 줄수록 (i.e.[eqn: {partial beta^* }over {partial sigma_x^2}<0]);

⑷ CEO의 왜곡 유인이 줄어들 수록(i.e.[eqn: {partial beta^* }over {partial sigma_y^2}<0]);

[eqn: sigma_v^2]가 커질 경우 투자자들이 기업의 내재적 가치에 대하여 보유하는 정보의 정확도는 떨어질 수밖에 없다. 이에 따라 투자자들은 판단근거로 CEO의 실적치 보고에 신빙성을 더 높일 수밖에 없다. 한편 [eqn: sigma_n^2]이 줄어드는 것은 CEO가 관측하는 당기 실적이 기업의 내재적 가치를 거의 정확하게 반영하고 있음을 의미한다. 따라서 투자자들은 이 경우에 CEO의 실적치 공표에 왜곡이 있음에도 불구하고 실적보고서에 높은 신뢰도를 부여하게 될 것이다. 이상은 경영진의 실적치 발표와 주가를 제외하고 시장에서 추가로 획득되는 정보가 없다는 가정하에서의 논의이다.

한편 [eqn: sigma_x^2]가 커질 경우 현재의 주가는 기업의 내재적 가치로부터 더욱 자주 이탈할 확률이 높아진다. 그 이유는 노이지 트레이더의 거래량이 주가에 미치는 영향이 커졌기 때문이다. 한편, 유형 1의 투자자는 [eqn: sigma_x^2]이 커지더라도 실적보고치와 자신이 파악한 CEO의 왜곡유인만으로도 기업의 내재적 가치를 추산하는 데 아무런 불편이 없다. 문제는 유형 2 투자자에게서 발생한다. [eqn: sigma_x^2]이 커질 경우 주가가 유형 2 투자자에게 전달하는 기업의 내재적 가치에 대한 정보량이 줄어들게 된다. 따라서 유형 2 투자자들의 입장에서는 [eqn: y]에 대한 불확실성이 축소되지 않게 된다. 따라서 이들 투자자들이 합리적이라면 공표된 실적보고치에 대한 한계적인 투자결정 반응이 축소될 수밖에 없다. 이러한 유형 2의 시장반응도 저하는 결국 시장에서의 균형주가식의 시장반응도를 떨어뜨리는 요인이 될 것이다. [eqn: sigma_y^2]가 커질 경우에도 유형 2 투자자에게 CEO의 왜곡유인과 관련한 불확실성은 커지게 됨에 따라 이들 투자자들의 시장반응도는 저하될 것이여, 위에서와 마찬가지로 시장전의 반응도도 낮아지게 된다.

Proposition 4.1 [eqn: y>0]인 경우 유형 1의 투자자가 늘어날수록 기업 CEO가 실적보고서에 추가하는 왜곡의 양이 커진다.

위 proposition은 일견 모순되어 보인다. 왜냐하면 유형 1의 투자자는 실적치 공표가 잘못되더라도 정확한 기업의 내재적 가치를 추산할 수 있는 투자자이기 때문이다. 반면에 실적치가 왜곡될 경우 잘못된 투자결정을 내릴 수 있는  유형 2 투자자의 비중이 줄고 있는 와중에 공표된 실적치에 포함되는 왜곡의 양을 늘리고 있기기 때문이다. 그러나 Stein(1990)의 'rat race'에서 언급되었듯이 유형 1 투자자들이 기업 CEO에게 왜곡유인이 있다고 인식하는 한 실적보고서에 왜곡이 없더라도 공표된 실적치에서 이 부분을 가감하려 들 것이다. 따라서 왜곡량을 추가하지 않을 경우 시장에서의 기업가치는 내재 가치보다 더 낮은 수준에서 형성될 것이다. 이렇기 때문에 기업 CEO는 원하지 않더라도 유형 1 투자자들이 믿고 있는 만큼의 왜곡량을 추가해야 되는 trap에 빠지게 된다. 그리고 이러한 trap은 유형 1의 투자자 비중이 늘수록 강화된다. 즉 실적치 왜곡량은 유형 1의 비중이 늘어날 때 확대된다.

2. 주가의 이탈 정도

식 (4)를 이용하여서 당기 실적으로부터 주가의 이탈분은 아래와 같이 정의한다.

[eqn: b_p =equiv{1} over {beta^*}E[p^*| e, y]-e = left({beta^*} over {c}+{alpha^*} over {beta^*} right)y]

이제 위의 결과를 propositin 3. 1에 대입하고 나면 주가의 이탈분은 아래와 같이 표시된다.

[eqn: b _{p} = LEFT ( {{w} over {sigma _{n} ^{2}} + {1-w} over {sigma _{n} ^{2} +X} {sigma _{y} ^{2}} over {V( phi )}} over {{w} over {sigma _{n} ^{2}} + {1-w} over {sigma _{n} ^{2} +X}} RIGHT ) {beta ^{*}} over {c} y=(1-T)b ^{*}]    (5)

여기서 [eqn: T ^{*} == {{w} over {sigma _{n} ^{2}} + {1-w} over {sigma _{n} ^{2} +X} {sigma _{y} ^{2}} over {V( phi )}} over {{w} over {sigma _{n} ^{2}} + {1-w} over {sigma _{n} ^{2} +X}}]를 의미하며, 이 항은 왜곡된 실적치에 대한 시장 참가자들의 수정 능력을 의미한다. 즉 이 값이 1이면, 왜곡된 실적치에 대한  교정이 시장에서 완벽하게 이루어지는 것을 의미한다. 그러나 일반적으로 이 값은 1보다는 작은 양의 값으로 실현된다. [eqn: T in (0, 1]]이다. 한편 이러한 사실은 주가의 이탈과 실적치의 왜곡이 동일한 방향으로 이루어지고 있음을 시사한다. 즉 실적치의 상방 왜곡이 있는 경우 시장에서 주가도 내재적 가치보다 높게 형성된다. 한편 시장의 치유능력 [eqn: T]는 유형 1이 많아질수록 높아지는 데 이것은 아래의 lemma 4.3로 정리된다.

Lemma 4.3 유형 1 투자자가 많아질 수록, 시장에서의 실적치 왜곡에 대한 치유능력이 높아지고 이결과 주가의 이탈폭은 작아진다. 즉 수학적으로는 [eqn: {partial T} OVER {partial w}>0]이다.

[eqn: w=1]인 극단적인 경우--합리적인 투자자들은 모두 유형 1인 경우--에는 [eqn: T=1]이 되어 기업 CEO가 실적치를 왜곡하더라도 주가의 체계적인 이탈은 발생하지 않는다. 수학적으로 [eqn: b _{p} =0]이다. 이는 기업 CEO의 왜곡유인을 정확히 알고 있어 공표된 실적치에서 균형 왜곡량을 가감하는 유형 1 투자자들과 노이지 트레이더만 존재하는 경우이다. 한편 유형 3의 노이지 트레이더는 기업의 실적치와 무관하게 거래량을 결정하는 투자자이다. 그리고 이러한 두부류의 투자자만 존재할 경우에 주가는 내재적 가치에서 평균적으로 이탈하지 않게 된다.

반면에 [eqn: w<1]인 경우, 즉 유형 2의 투자자가 존재하는 경우에 체계적인 주가의 이탈은 항상 발생한다. 아래의 proposition은 [eqn: w]에 대한 비교정태분석 결과 주가의 이탈이 발생하고 있음을 보여주고 있다.

Proposition 4.2 [eqn: y>0]이고 [eqn: w<1]인 경우에 주가의 이탈은 항상 발생한다. 즉 [eqn: b _{p} >0]이다. 한편, 유형 1의 비중이 커질 경우 이러한 주가 이탈은 감소한다. 즉 [eqn: partial b_p} over {partial w}<0]이다. 반면에 [eqn: y<0]이고 [eqn: w<1]인 경우에는 위 부등호 방향은 반대로 형성된다.

유형 1 투자자 비중이 커짐에 따라 두 가지 효과가 동시에 발생하다. 첫째는 기업 CEO의 실적치 왜곡이 심화된다. 두째는 시장의 치유능력 [eqn: T]도 증가한다. 두가지 효과의 상호작용 결과 주가의 이탈이 커지는지 여부를 단정짓기는 어렵다. 그러나 위의 proposition 4.2는 시장의 치유능력 [eqn: T]가 [eqn: b^*]의 증가효과를 압도하고 있음을 보여주고 있다. 따라서 유형 1이 늘어날 경우 실적치 왜곡 증대에도 불구하고 주가의 이탈은 줄어드는 것이다. 몇몇 실증분석은 기업의 발표된 실적치와 실제 시장에서 형성되는 주가 간에는 상당한 차이가 발생하는 것으로 결론짓고 있어 본 고의 결론을 뒷받침해 주고 있다.

3. 유형 1 결정의 내생화

지금까지는 유형 1의 투자자와 유형 2 투자자의 비중을 주어졌다고 가정하였다. 그러나 지금부터는 투자자들의 최적 결정과정에서 유형 1의 투자자가 되는지 여부를 결정하도록 내생화하여 본다.

유형 1 투자자는 유형 2 투자자에 비하여 정보력이 우월한 투자자이다. 그리고 정보력---구체적으로는 CEOO의 실적 왜곡 유인의 정도--은 상대적으로 높은 기대수익의 근원이 되고 있다. 따라서 추가적인 정보력을 취득하는 데 비용이 수반되지 않는 다면, 합리적인 투자자들은 모두 유형 1이 되려 할 것이다.

흥미로운 분석은 유형 1이 되는 데는 비용이 든다고 가정했을 때 누가(얼마나 많은 투자자가) 유형 1의 투자자가 될 것인지를 도출하는 것이다. 유형 1의 투자자가 결정에 있어 고려할 또 다른 요인은 유형 1이 취득한 정보가 자신들의거래량 결정과정에서 주가에 반영되기 때문에 유형 2에 잔존하는 합리적인 투자자들이 free-riding 할 수 있다는 사실이다. 한편 이처럼 시장에 유출(spill over)되는 정보량은 유형 1이 많을수록 더 커지게 된다.

극단적으로 투자자 중 마지막 한명을 제외한 모든 투자자들이  유형 1이 됐다고 가정하자. 이 경우 마지막 한명인 유형 2 투자자는 추가 비용지불 없이 유형 1의 투자자가 가진 정보를 가격변수를 통해 그대로 파악할 수 있게 된다. 그러나 현실세계에서 이런 일은 발생하지 않는다. 왜냐하면 유형 3과 같은  노이지 트레이더가 존재하고 있어 가격변수에 유출(spillover)되는 정보에는 이들로 인한 노이즈도 개입되고 있기 때문이다. 그러나 간과할 수 없는 중요한 논점은 유형 1이 많아질수록 유출(spillover)되는 정보량도 많아져, 추가적으로 유형1이 되려는 유인은 줄어든다는 사실이다.

합리적인 투자자는 이러한 ①가격변수의 정보 유출과 ②유형 1이 되기 위해 지불해야 하는 비용과 상대적인 기대이익 증분을 동시에 고려하여 자신의 유형(type)을 결정한다. 시장 전체로는 유형 1이 됨에 따라 얻게 되는 초과이익의 평균치와 지불하는 비용간의 차이가 유형 2인 상태로 누리게 되는 기대수익과 같아지는 점에서 유형1이 되려는 한계적이 투자가 결정될 것이다. 그리고 이 한계적인 투자자 이후 유형 1이 추가될 경우 위의 정보유출(spillover)논리에 따라 순수익이 줄어들고 있어 투자자들은 더 이상 유형 1이 되고자 하지 않게 된다.수학적으로 이 관계는 아래의 식으로 표현된다.

[eqn: e^{-{1 over 2 z_2^2} } = e^{ad} E left[ e^{- 1 over 2 z_1^2} |p,r right]]  (6)

위의 식을 풀면 유형 1의 내생적 비중 [eqn: w]가 결정될 것이다. 그러나 불행히도 해를 closed form으로 구할 수는 없다. 이유는 시장의 반응도인 [eqn: beta]값이  close form으로 유도되지 않기 때문이다. 그러나 우리는 이 [eqn: w]의 존재구간과 다른 외생변수에 따른 변화를 시뮬레이션을 통해 구할 수 있다.  [eqn: sigma _{n} ^{2}], [eqn: sigma _{v} ^{2}],  [eqn: sigma _{y} ^{2}], [eqn: sigma _{x} ^{2}]를 모두 1로 두고 [eqn: c=1/2]로 가정한 상태에서 초과이윤인 식 (A.15)--[eqn: {e ^{- {1} over {2} z _{2} ^{2}}} over {E LEFT [ e ^{- {1} over {2} z _{1} ^{2}} |p,r RIGHT ]}]는 아래의 그림과 같이 구해진다.

<그림>

그림의 수평선은 유형 1이 되기 위해 지불하는 비용 [eqn: d]의 효용값([eqn: e ^{ad}])이다. 그리고 concave한 괘적선은 유형 2의 투자자와 비교한 유형 1 투자자의 상대적인 초과 기대이윤(A.15)을 [eqn: w in [0,1]]에 대하여 plot한 것이다. 즉 유형 1 비중이 적을 때는 유형 1의 초과기대이윤이이 빠르게 증가하지만 유형 1의 비중이 일정 수준을 넘어서게 되면, 정보유출(spillover)효과 때문에 기대이윤은 감소하기 시작한다.

한편, 균형 [eqn: w^*]은 양 곡선이 두 번째 교차하는 우측 교차점에서 결정된다.  좌측 교차점의 경우 초과기대이윤이 최소화되는 점이다. 한편,  [eqn: d]가 커질수록 수평선은 위로 이동하게 되고 우측의 교차점은 좌측으로 이동하게 된다. 즉 [eqn: w^*]가 줄어들게 된다. [eqn: d]가 충분히 커질 경우 두 곡선은 교차하지 않게 된다. 이 경우는 유형 1이 되기 위해 지불해야 하는 비용이 너무 커서 투자자들이 모두 유형 2로 남아있는 경우이다.

즉 이점 이후로도 유형 1의 비중이 늘어남에 따른 한계적인 수익 증분은 지불해야 되는 비용은 [eqn: e^d]보다 크다. 이러한 현상은 우측의 교차점까지 지속되고, 이후로 추가되는 이윤의 크기가 비용을 하회하기 시작한다. 따라서 우측의 교차점이 추가이윤이 최대화 되는 [eqn: w]값이 된다.

Ⅳ.  결론

본고는 기업경영진의 회계 조작과 주가의 이탈이 발생가능함을 모형에서 보였다. 또한 행태재무론자의 설명방법인 overconfidence와 같은 투자자의 체계적인 비합리성을 사용하지 않으면서도 주가의 체계적인 이탈 현상을 설명하고 있다. 본고에서는 주가의 이탈은 왜곡된 실적치가 공표될 경우 시장에서의 치유능력이 불비된 데 따라 발생하고 있다. 이와 관련하여 노이즈 트레이더의 존재는 필수적이다. 이들이 없다면 유형 1의 우월한 정보가 이들의 거래량 결정과정에서 가격변수를 통하여 유형 2의 투자자에게 그대로 전달될 것이다. 그리고 이 경우에는 유형2의 정보량도 유형 1의 그것과 같아진다. 그렇다면 주가의 이탈이 없을뿐만 아니라 어느 누구도 유형 1이 되려하지도 않는다. 그러나 실제 주식시장에는 유형 1이 되고자 부단히 노력하는 투자자들이 있다. 이것은 시장에 노이지 트레이들이 존재하기 때문이라는 것을 반증하는 좋은 사례가 된다.

기존의 효율적시장론자들은 노이즈 트레이더는 역할이 평균적으로 소멸되고, 주가에 미치는 영향은 중립적이라고 결론짓고 있다. 그러나 본고는 이에 대하여 반론을 제기한다. 즉 시장에는 주식거래자 이 외에도 왜곡된 정보를 전달하려는 또 다른 이해 당사자가 존재하고, 이에 따라 노이지 트레이더의 영향력은 중립적일 수 없다는 것이 그 반론이다.

본 고는 Stein(1990)과 Fisher & Verrechia(2000)의 연구를 보완․발전시킨 모형이다.  Stein과 비교할 때 본 고는 기업 CEO의 왜곡유인이 불확실한 투자자 집단을 추가적으로 가정하였다. 그리고 Fisher & Verrechia와 비교하여서는 정보우위의 투자자를 추가하였다. 한편 본고에서는 유형 1과 유형 2 그리고 경영진 상호간의 작용결과의 분석을 최초로 시도하고 있다. 그리고 이러한 상호작용으로 주가의 체계적 이탈이 발생함을 보여다. 앞의 모형 분석과정에서 회계제도와 기업 CEO의 왜곡유인을 잘 알고 있는 투자자들이 그러하지 않은 투자자보다 성과가 높다고 하였다. 실제로도 헤지펀드나 전문 펀드매니저들의 성과가 일반투자자보다 높은 것으로 드러나고 있다.

한편, 유형 1로 지칭되는 정보우위의 투자자 비중이 높아질수록 기업 CEO의 실적치 왜곡은 심화되는 것을 보였다. 사실 이러한 실적치 왜곡은 사회적으로는 비용만 초래하고 있어 바람직하지 못하다. 비교정태분석에서 제시되었듯이 실적치 왜곡 발표과 주가이탈을 막는 최선의 방법은 왜곡발생에 수반되는 비용을 확대시키는 것이다. 이러한 정책적 대안으로는 회계제도의 엄격하고 투명한 적용, 적발시 엄중한 처벌 등과 처방을 들 수 있다.

<참고 문헌>

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Geng, Xianjun. Lin, L. and Whinston, A. "Corporate Governance Issues in New Technology Companies", working paper

<증명 부록>

Lemma 3.1 증명: 식(3)을 식(1)에 대입하고 [eqn: b]에 대하여 목적함수를 풀면 도출된다.  Q.E.D.

Proposition 3.1 증명: 식 (3)과 Normal learning theorem(DeGroot, 1970)을 사용하여 최종적 기업가치에 대한 추정치(조건부 기댓값과 분산)들을 다음과 같이 계산할 수 있다.

[eqn: E(v}|r,y) = E(v|e=r- {beta}over{c}y) = {sigma_v^2} over {sigma_v^2 +sigma_n^2}(r-{beta}over{c}y)]

[eqn: V(v}|r,y) = V(v|e=r- {beta}over{c}y) = {sigma_v^2 sigma_n^2} over {sigma_v^2 +sigma_n^2}]

위의 기대치와 분산값에 근거하여 계산한 유형 1의 거래량은 아래와 같다.

[eqn: x ^{1} = {E[v|r,y]-p} over {aV[v|r,y]} = {1} over {a sigma _{n} ^{2}} (r- {beta } over {c} y)- {sigma _{v} ^{2} + sigma _{n} ^{2}} over {a sigma _{v} ^{2} sigma _{n} ^{2}} p] (A.1)

유형 2의 거래량을 계산하기에 앞서 [eqn: phi equiv {p-beta r}over{alpha} =y -{x}over {alpha L}]로 정의하자. Theorem 5.5(p168 in Bierens(2004))를 이용하면, [eqn: v]에 대한 유형 2의 기대치와 분산은 아래와 같이 도출된다.

[eqn: E(v|r,p)=E(v|r, phi )= {sigma _{v} ^{2}} over {sigma _{v} ^{2} + sigma _{n} ^{2} +X} (r- {beta } over {c} {sigma_y^2} over {V(phi)} phi)]

[eqn: V(v|r,p)=V(v|r- {beta } over {c} phi , phi )= {sigma _{v} ^{2} ( sigma _{n} ^{2} +X)} over {sigma _{v} ^{2} + sigma _{n} ^{2} +X}]

여기서 [eqn: V(phi)= sigma_y^2 + {sigma_x^2} over {alpha L}], [eqn: X = ( beta over c )^2 V(y|phi) =( beta over c )^2 {sigma_y^2 sigma_x^2}over {alpha^2 L^2 sigma_y^2 +sigma_x^2}]이다.

따라서 유형 2의 거래량은 다음과 같다.

[eqn: x ^{2} = {E[v|r,p]-p} over {aV[v|r,p]} = {1} over {a( sigma _{n} ^{2} +X)} (r- {beta } over {c} {sigma _{y} ^{2}} over {V( phi )} phi )- {sigma _{v} ^{2} + sigma _{n} ^{2} +X} over {a sigma _{v} ^{2} ( sigma _{n} ^{2} +X)} p] (A.2)

식 (2)의 시장청산조건을 적용하면

[eqn: w left[ {r- {beta}over {c}y}over {sigma_n^2} - ({1}over {sigma_v^2}+{1}over {sigma_n^2})p right]+(1-w) left[ {r- {sigma_y^2}over {V(phi)}{beta}over {c}phi }over {sigma_n^2 +X}- ({1}over {sigma_n^2 +X }+ {1 } over {sigma_v^2}) p right] = ax](A.3)

[eqn: phi =y- {x} over {alpha L}]와 [eqn: p = beta r +alpha y - x over L]를 (A.3)에 대입하고  ([eqn: r,y,x])에 대하여 식을 풀면 아래의 조건이 유도된다.

[eqn: FORALL r, `` {w} over{sigma_n^2}+{1-w} over{sigma_n^2 +X} = beta left( {1} over{sigma_v^2}+ {w} over{sigma_n^2} +{1-w} over{sigma_n^2 +X} right)]         (A.4)

[eqn: FORALL y, ``- beta over c left({w} over{sigma_n^2}+{1-w} over{sigma_n^2 +X} sigma_y^2 over V(phi) right) = alpha left( {1} over{sigma_v^2}+ {w} over{sigma_n^2} +{1-w} over{sigma_n^2 +X} right)]     (A.5)

[eqn: FORALL x, `` {(1-w) beta over c sigma_y^2} over{alpha V(phi)(sigma_n^2 +X)} = aL- left( {1} over{sigma_v^2}+ {w} over{sigma_n^2} +{1-w} over{sigma_n^2 +X} right)]       (A.6)

식 (A.4)로부터 아래의 계수값이 유도된다.

[eqn: beta^* = {{w} over {sigma _{n} ^{2}} + {1-w} over {sigma _{n} ^{2} +X}} over {{1} over {sigma _{v} ^{2}} + {w} over {sigma _{n} ^{2}} + {1-w} over {sigma _{n} ^{2} +X}} IN [0,1]]          (A.7)

위의 식을 식 (A.5)와 (A.6)에 대입하면 나머지 계수값들도 아래와 같이 유도된다.

[eqn: alpha ^{*} =- {beta ^{*}} over {c} {{w} over {sigma _{n} ^{2}} + {1-w} over {sigma _{n} ^{2} +X} {sigma _{y} ^{2}} over {V( phi )}} over {{1} over {sigma _{v} ^{2}} + {w} over {sigma _{n} ^{2}} + {1-w} over {sigma _{n} ^{2} +X}} =- {beta ^{*2}} over {c} {{w} over {sigma _{n} ^{2}} + {1-w} over {sigma _{n} ^{2} +X} {sigma _{y} ^{2}} over {V( phi )}} over {{w} over {sigma _{n} ^{2}} + {1-w} over {sigma _{n} ^{2} +X}}] (A.8)

[eqn: {1} over {L ^{*}} = {{w} over {sigma _{n} ^{2}} + {1-w} over {sigma _{n} ^{2} +X} {sigma _{y} ^{2}} over {V( phi )}} over {{w} over {sigma _{n} ^{2}} + {1-w} over {sigma _{n} ^{2} +X}} left({a beta^* sigma_n^2} over w right)]         (A.9)

이제 마지막으로 균형해의 존재와 유일성(uniqueness)을 증명한다. 먼저, [eqn: alpha^* L^* = -{w beta^*} over{ a c sigma_n^2}]임을 이용하여, 이것을 (A.4)의 [eqn: X]에 대입하고, 식을 정리하면, [eqn: beta]에 대한 아래와 같은 3차식을 유도할 수 있다.

[eqn: LEFT ( w ^{2} ( sigma _{n} ^{2} + sigma _{v} ^{2} )+wa ^{2} sigma _{v} ^{2} sigma _{x} ^{2} sigma _{n} ^{2} + sigma _{n} ^{2} +a ^{2} sigma _{n} ^{4} sigma _{x} ^{2} RIGHT ) sigma _{y} ^{2} beta ^{3}# - LEFT ( w ^{2} +wa ^{2} sigma _{x} ^{2} sigma _{n} ^{2} RIGHT ) sigma _{v} ^{2} sigma _{y} ^{2} beta ^{2} +( sigma _{n} ^{2} + sigma _{v} ^{2} ) sigma _{n} ^{4} sigma _{x} ^{2} a ^{2} c ^{2} beta -a ^{2} c ^{2} sigma _{v} ^{2} sigma _{x} ^{4} =0]    (A.10)

[eqn: beta ^{3}, beta^2 , beta]과 상수항의 계수들을 [eqn: a, b, c]와 [eqn: d]로 치환하여 표시하면, (A.10)의 LHS는 아래와 같이 간략히 표현될 수 있다.

[eqn: f(beta) = a beta^3 +b beta^2 +c beta+d]

위의 3차식에서 [eqn: f(0)=d<0]이고 [eqn: f(1)= a+b+c+d>0]임을 쉽게 보일 수 있다. 그리고 이 결과 [eqn: f(beta)=0]인 해가 [eqn: [0, 1]]에 있음도 보일 수 있다. 이상으로 해의 존재 증명은 끝났다.

다음은, 해의 유일성에 관한 증명이다.  [eqn: f(beta)]의 1계조건([eqn: f'(beta) = 3a beta^2 +2b beta +c])에는 아래의 두 가지 경우가 가능하다

(1) [eqn: b^2 leq 3ac]인 첫 번째 경우;

이 경우  [eqn: f'(beta)=0]는 실수해를 갖지 못한다. 따라서 [eqn: f(beta)]는 모든 [eqn: beta]에 대하여 단조적으로 증가한다. 따라서 해의 유일성이 보여졌다.

(1) [eqn: b^2 > 3ac]인 두 번째 경우;

이 경우  [eqn: f'(beta)=0]은 두 개의 서로 다른 실수해를 갖는다.

[eqn: beta_1, beta_2 = {-b +- sqrt{b^2 -3ac} } over 3a]에서 [eqn: (beta_1 < beta_2 )]인 경우 [eqn: beta_1]에서 극대값을, [eqn: beta_2]에서 극소값을 갖는다. 그리고 [eqn: f(beta_1 )<0]임이 쉽게 보여진다.  따라서 이 경우에도 해의 유일성은 증명되었다.

두 경우를 나누어 살펴본 결과, [eqn: beta^*]은 유일하게 존재함을 알 수 있다. 그리고 이 결과로 [eqn: alpha^*]와 [eqn: L^*]도 유일한 해를 갖음을 알 수 있다. Q.E.D.

Proposition 3.2 증명: [eqn: EW^1]과 [eqn: EW^2]는 아래와 같이 계산될 수 있다.

[eqn: EW ^{1} =E[(v-p)x ^{1} ]=E LEFT [ (v-p) {E[v|r,y]-p} over {V[v|r,y]} RIGHT ] = {E LEFT [ (E[v|r,y]-p) ^{2} RIGHT ]} over {V[v|r,y]} GEQ 0]이며,

[eqn: EW ^{2} =E[(v-p)x ^{2} ]=E LEFT [ (v-p) {E[v|r,p]-p} over {V[v|r,p]} RIGHT ] = {E LEFT [ (E[v|r,p]-p) ^{2} RIGHT ]} over {V[v|r,p]} GEQ 0]이다.

[eqn: V[v|r,y]<V[v|r,p]]임은 쉽게 알 수 있어서,

[eqn: E left[ (E[v|r,y]-p)^2right]>E left[ (E[v|r,p]-p)^2right]]를  보이면 [eqn: EW^1 >EW^2]이다.

[eqn: E left[ (E[v|r,y]-p)^2right] = E left[ (v-p)(E[v|r,y]-p)right]=E left[ E left[(v-p)(E[v|r,y]-p)|r,p right]right]]

이고,

[eqn: E left[ E left[(v-p)(E[v|r,y]-p)|r,p right]right] = E left[ v E[v|r,y]|r,p right]-2p E[v|r,p]+p^2]

=[eqn: E left[ v|r,p right]^2 + C left[ v, E[v|r,y]|r,p right] -2p E[v|r,p]+p^2]

[eqn: =(E[v|r,p]-p)^2 + C left[ v, E[v|r,y]| r,p right]]

여기서 [eqn: C left[ v, E[v|r,y]| r,p right]]은 [eqn: v]와 [eqn: E[v|r,y]]간의 공분산이다. 이때 [eqn: C left[ v, E[v|r,y]| r,p right]>0]임을 보이면 증명을 마치게 된다. Bierens(2004)의 정리 5.5를 따르면  [eqn: C left[ v, E[v|r,y]| r,p right] = {sigma_v^2 ({beta }over{ c} )^2 V(y|phi)}over { (sigma_v^2 +sigma_n^2 )( sigma_v^2 +sigma_n^2 + ({beta }over{ c} )^2 V(y|phi) )}>0]이다. 이것으로 증명은 마친다. Q.E.D.

Lemma 4. 1 증명:

첫 번째로 [eqn: d beta} over{ d w} >0]임을 보이자. 식 (A.4)를 재정리하면 다음과 같다.

[eqn: {w} over {sigma _{n} ^{2}} + {1-w} over {sigma _{n} ^{2} +X} = {1} over {sigma _{v} ^{2}} {beta^*} over {1-beta^*}]  (A. 11)

양변을 [eqn: w]에 대하여 미분하면 아래와 같다.

[eqn: LEFT ( {1} over {sigma _{n} ^{2}} - {1} over {sigma _{n} ^{2} +X} RIGHT ) - {1-w} over {( sigma _{n} ^{2} +X) ^{2}} LEFT ( {partial X} over {partial w} + {partial X} over {partial beta} {d beta} over {d w} RIGHT ) = {1} over {sigma _{v} ^{2}} {1} over {(1- beta)^2} {d beta} over {d w}]

[eqn: RARROW LEFT ( {1} over {sigma _{v} ^{2}} {1} over {(1- beta ) ^{2}} + {Partial X} over {Partial beta } RIGHT ) {d beta } over {dw} = LEFT ( {1} over {sigma _{n} ^{2}} - {1} over {sigma _{n} ^{2} +X} RIGHT ) - {1-w} over {( sigma _{n} ^{2} +X) ^{2}} {Partial X} over {Partial w}]

식 (A.8)과 (A.9)로부터 다음을 유도할 수 있다.

[eqn: X=({beta}over{c})^2 {(ac)^2 sigma_n^4 sigma_x^2 sigma_y^2}over{(ac)^2 sigma_n^4 sigma_x^2 +beta^2 w^2 sigma_y^2}= {1}over{c^2}{(ac)^2 sigma_n^4 sigma_x^2 sigma_y^2}over{{(ac)^2 sigma_n^4 sigma_x^2 }over{beta^2}+w^2 sigma_y^2}]

결국 위식은 [eqn: {partial X}over {partial w}<0]이고, [eqn: {partial X}over {partial beta}>0]을 의미한다. [eqn: {1} over {sigma _{n} ^{2}} - {1} over {sigma _{n} ^{2} +X} >0]인 것도 고려하면 [eqn: d beta} over{ d w} >0]이다.

두 번째로는 [eqn: {d beta } over {dc} >0]임을 보인다.

[eqn: X]를 재배열하면 다음과 같다. [eqn: X= {sigma_y^2} over { ({c}over {beta})^2+ {w^2 sigma_x^2} over {a^2 sigma_n^4 sigma_x^2}}]

위식에서는[eqn: {partial X}over {partial c}<0]이고, [eqn: {partial X}over {partial beta}=-{d X}over {d c} {c} over {beta}>0]임을 알 수 있다.

식 (A.11)의 양변을 [eqn: c]에 대하여 미분하면 아래와 같다.

[eqn: - {1-w} over {( sigma _{n} ^{2} +X) ^{2}} LEFT ( {Partial X} over {Partial beta } {d beta } over {dc} + {Partial X} over {Partial c} RIGHT ) = {1} over {sigma _{v} ^{2}} {1} over {(1- beta ) ^{2}} {d beta } over {dc}]

[eqn: RARROW LEFT ( {1} over {sigma _{v} ^{2}} {1} over {(1- beta ) ^{2}} + {1-w} over {( sigma _{n} ^{2} +X) ^{2}} {Partial X} over {Partial beta } RIGHT ) {d beta } over {dc} =- {1-w} over {( sigma _{n} ^{2} +X) ^{2}} {Partial X} over {Partial c}]

그리고 여기서 [eqn: {d beta } over {dc} >0]임을 알 수 있다. Q.E.D.

Lemma 4.2의 증명: lemma 4.1의 증명과 유사한 과정을 거쳐 증명이 가능하다. Q.E.D.

Proposition 4.1의 증명: 식 (5)를 변형하면 아래와 같다.

[eqn: b _{p} = {beta (1-gamma)} over {c} {(1-w)sigma_n^2} over {sigma_n^2+w X}y], 이때 [eqn: gamma = {sigma_y^2} over {V(phi)} = {sigma_y^2} over {sigma_y^2 + {(ac)^2sigma_n^4}over {(beta w)^2}sigma_c^2}]이다.

한편, [eqn: 1-gamma = {(ac)^2 sigma_n^4 sigma_x^2} over {(beta w)^2 V(phi)}], 와 [eqn: X= {a^2 sigma_n^4} over {w^2} { sigma_x^2 sigma_y^2} over { V( phi )}]를 [eqn: b_p]에 대입하고 재배열하면  아래의 식이 유도된다.

[eqn: b _{p} = {(1-w)a^2 sigma_n^2 sigma_x^2 c sigma_n^2} over {beta sigma_y^2 w [w+a^2 sigma_n^2 sigma_x^2 ]+ {a^2 sigma_n^2 sigma_x^2 c^2 sigma_x^2 } over {beta}}y]  (A.14)

위 식에서 분모는 [eqn: w]의 감소함수임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 분자가 [eqn: w]의 증가함수임을 보이면 증명을 마칠 수 있다.

식 (A.10)을 재배열하면 아래의 식으로 표현된다.

[eqn: beta sigma _{y} ^{2} w[w+a ^{2} sigma _{n} ^{2} sigma _{x} ^{2} ]+ {a ^{2} sigma _{n} ^{2} sigma _{x} ^{2} c ^{2} sigma _{x} ^{2}} over {beta } =` {sigma _{n} ^{2} LEFT ( beta sigma _{y} ^{2} [w+a ^{2} sigma _{n} ^{2} sigma _{x} ^{2} ]+a ^{2} sigma _{n} ^{2} sigma _{x} ^{2} c ^{2} sigma _{n} ^{2} RIGHT )} over {(1- beta ) sigma _{v} ^{2}}]

그리고 (A.10)의 해인 [eqn: beta ^{*}]에서 위식의 좌우값은 동일하며, 우변은 [eqn: w]에 대한 증가함수임을 [eqn: d beta } over dw >0]임을 고려해 보면 증가함수임을 알 수 있다. Q.E.D.

4장 3절의 내생화 보이기:

우선 [eqn: z _{1} = {(E[v|r,y]-p)^2} over {sqrt{V[v|r,y]}}], [eqn: z _{2} = {(E[v|r,p]-p) ^{2}} over {sqrt {V[v|r,p]}}]로 정의하자. 이 경우 [eqn: EW^1]과 [eqn: EW^2]는 각각 [eqn: z_1^2 } over a]와 [eqn: z_2^2 } over a]로 간략히 표현된다.  그리고 유형 1과 유형 2가 되는 cutoff상에서 기대효용값은 식 (6)으로 표현된다.

식 (6)을 아래와 같은 표현으로 유도한 뒤에 몇 단계의 연산을 거치면 최종적으로는 우변(초과이윤)과 같이 표현된다. 본문의 그림은 아래의 식을 시뮬레이션한 것이다.

[eqn: e ^{ad} = {e ^{- {1} over {2} z _{2} ^{2}}} over {E LEFT [ e ^{- {1} over {2} z _{1} ^{2}} |p,r RIGHT ]} =.....= sqrt{ { {1 } over {sigma_v^2 } +{1 } over {sigma_n^2 }} over {{ {1 } over {sigma_v^2 } +{1 } over {sigma_n^2 +X} } }]  (A.15)

우변도출을 위하여 필요한 연산 몇가지는 아래와 같다.

[eqn: z_1 | p, r sim N( bar{z}, sigma_z^2 )]으로 표현되는 데 이 때 [eqn: bar z equiv E[z_1 |p,r]]이며, [eqn: sigma_z equiv V[z_1 |p,r]]이다.

그리고

[eqn: V left[ z_1 |r, p right] ={V left[E[v |r,y]|r, p right]}over{V[v|r,y]} = {V [v |r,p]-V[v|r,y]}over{V[v|r,y]}= {V [v |r,p]}over{V[v|r,y]}-1 = {tau_v +tau_n} over{tau_v +tau_y}-1 equiv sigma_z^2 >0]

이때 [eqn: tau_y equiv {1}over {sigma_n^2 +X}]이다.

[eqn: E LEFT [ e ^{- {1} over {2} z _{1} ^{2}} |p,r RIGHT ] ={1}oversqrt{1+sigma_z^2 }}e ^{- {bar{z}^2} over {2(1+sigma_z^2 )}}]이며, [eqn: bar{z} = {tau_v +tau_n} over {tau_v +tau_y} z_2^2]이다.

마지막으로 [eqn: {bar{z ^{2}}} over {2(1+ sigma _{z} ^{2} )} =` {z _{2} ^{2}} over {2}]이며, [eqn: 1 +sigma_z^2 = {tau_v +tau_n} over {tau_v +tau_y}]이다.