주가가 정규분포보다 꼬리가 두꺼운 확률변수인 점, 주가의 변동이 군집화를 이루고 있는 현상, 주가가 장기기억과정에 의하여 생성되고 있다는 점이 실증분석을 통하여 밝혀지고 있다. 주가를 형성시키는 이 세 요소가 하나의 모형내에 통합되지 못하고 있는 실정인데, 이 세 요소가 통합되는 확률과정이 다중프랙탈과정이다. 다중 프랙탈과정은 표준브라운 운동과정과 랜덤시간 변형과정의 결합을 통하여 얻게되는 확률과정이다. 이 과정은 Ito 형의 확률과정에 포함되지 않는 연속과정인 것이다.

본 논문에서는 주가시계열의 Pareto-Lévy 분포성, 분포의 두꺼운 꼬리성질, 시계열상관이 쌍 곡선율로 완만하고 무척 더디게 감소하여 장기에 걸쳐서 평균에 회귀하는 장기기억성, 군집화 현상, 거래시간의 통합성을 포괄하는 다중 프랙탈과정의 성질을 살펴보고 이 과정이 주가를 생 성시키는 과정인지 아닌지를 검정하는데 그 목적을 둔다.

다중 프랙탈과정은 표준브라운 운동과 시간변형과정의 통합을 통하여 형성된 확률과정이다. 시간변형과정은 주가의 군집화 현상을 포착하는 과정이다. 표준브라운 운동은 이 운동과 시간변형과정의 통합화 속에서 분수브라운운동의 성질이 용해되어 장기기억과정을 포착해준다. 다중프팩탈성은 관찰치들의 시간척축이 변함에 따라 발생하는 확률과정의 적률에 가해진 일련의 제약조건이라 할 수 있다. 이 모형은 마팅게일 성질을 만족하는 모형으로 변형시킬 수도 있으며 자기회귀 조건부 이분산 모형을 대체할 수 있는 모형이다. 이 모형에서는 자기상관을 가지고 있지 않은 수익률에도 적용능하며, 따라서 시장효율성을 점검하는데에도 이용할 수 있다. 이 모형은 축척일치성이라는 성질이 존재하므로 데이터의 총량화가 무리 없이 이루어질 수 있다. 다중프랙탈은 국소축척구성성질을 가지고 있으며, 시간의 흐름에 따라 변할 수 있는 국소축 척구성요소를 내포하고 있다.

자본자산의 다중프랙탈 과정을 한국종합주가지수에 적용하였는 바, 이 과정이 한국종합주가 지수의 행동 잘 설명하고 있다. 따라서 한국종합주가지수는 분포의 꼬리의 두꺼움, 자산가격의 군집화현상, 특이한 값, 장기기억을 내포하고 있다.